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問題は、分数 $\frac{3}{7}$ の小数表示 $0.428571428571\dots$ について、以下の3つの問いに答えるものです。 (1) 3回目の「1」は左から何番目に現れるか。 (2) n回目の「8」は左から何番目に現れるか（nを使って表す）。 (3) 小数部分の数字を順に足していくとき、その和が初めて400を超えるのは何番目まで足したときか。

算数分数小数循環小数数列計算
2025/6/29

1. 問題の内容

問題は、分数 37\frac{3}{7} の小数表示 0.428571428571…0.428571428571\dots について、以下の3つの問いに答えるものです。
(1) 3回目の「1」は左から何番目に現れるか。
(2) n回目の「8」は左から何番目に現れるか（nを使って表す）。
(3) 小数部分の数字を順に足していくとき、その和が初めて400を超えるのは何番目まで足したときか。

2. 解き方の手順

(1) 小数表示は 0.428571428571…0.428571428571\dots であり、「428571」の6桁が繰り返されます。
- 1回目の「1」は6番目
- 2回目の「1」は6 + 6 = 12番目
- 3回目の「1」は12 + 6 = 18番目
(2) 「8」は小数表示の3番目、3+6=9番目、3+2*6=15番目…に現れます。
つまり、n回目の「8」は、3+(n-1)*6 = 6n-3番目です。
(3) 小数部分の数字の和は、繰り返しの6桁「428571」の和を考えます。
4 + 2 + 8 + 5 + 7 + 1 = 27
和が400を超えるまでに、この27が何回繰り返されるかを考えます。
400÷27≈14.8400 \div 27 \approx 14.8
したがって、14回繰り返されると、和は 27 * 14 = 378となります。
14回の繰り返しは、6 * 14 = 84桁まで足したことになります。
次に、85桁目から順に足していきます。
378 + 4 = 382
382 + 2 = 384
384 + 8 = 392
392 + 5 = 397
397 + 7 = 404
したがって、89桁目まで足すと400を超えます。

3. 最終的な答え

(1) 18番目
(2) 6n - 3番目
(3) 89番目

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