ドレミファソラシドの音階の中から3つの音を選び、それらの振動数が等比数列となるものを1つ見つける。

1. 問題の内容

ドレミファソラシドの音階の中から3つの音を選び、それらの振動数が等比数列となるものを1つ見つける。

2. 解き方の手順

問題文に与えられたドレミファソラシドの各音の振動数は次の通りである。

* ド：$f$

* レ：$\frac{9}{8}f$

* ミ：$\frac{5}{4}f$

* ファ：$\frac{4}{3}f$

* ソ：$\frac{3}{2}f$

* ラ：$\frac{5}{3}f$

* シ：$\frac{15}{8}f$

* ド：$2f$

この中から3つの音を選び、それらの振動数が等比数列になっているものを見つける。

例えば、「ド・ソ・ド」の場合を考えると、振動数はそれぞれ $f$, $\frac{3}{2}f$, $2f$である。

$\frac{3}{2}f / f = \frac{3}{2}$

$2f / \frac{3}{2}f = \frac{4}{3}$

公比が異なるため、等比数列ではない。

「ド・ミ・ソ」の例が挙げられているので、それ以外の組み合わせを探す。

「レ・ファ・ラ」の場合、振動数はそれぞれ $\frac{9}{8}f$, $\frac{4}{3}f$, $\frac{5}{3}f$である。

$\frac{4}{3}f / \frac{9}{8}f = \frac{4}{3} \times \frac{8}{9} = \frac{32}{27}$

$\frac{5}{3}f / \frac{4}{3}f = \frac{5}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{5}{4}$

公比が異なるため、等比数列ではない。

「ド・レ・ミ」の場合、振動数はそれぞれ $f$, $\frac{9}{8}f$, $\frac{5}{4}f$である。

$\frac{9}{8}f / f = \frac{9}{8}$

$\frac{5}{4}f / \frac{9}{8}f = \frac{5}{4} \times \frac{8}{9} = \frac{10}{9}$

公比が異なるため、等比数列ではない。

「ファ・シ・ド」の場合、振動数はそれぞれ $\frac{4}{3}f$, $\frac{15}{8}f$, $2f$である。

$\frac{15}{8}f / \frac{4}{3}f = \frac{15}{8} \times \frac{3}{4} = \frac{45}{32}$

$2f / \frac{15}{8}f = 2 \times \frac{8}{15} = \frac{16}{15}$

公比が異なるため、等比数列ではない。

「レ・ソ・シ」の場合、振動数はそれぞれ $\frac{9}{8}f$, $\frac{3}{2}f$, $\frac{15}{8}f$である。

$\frac{3}{2}f / \frac{9}{8}f = \frac{3}{2} \times \frac{8}{9} = \frac{4}{3}$

$\frac{15}{8}f / \frac{3}{2}f = \frac{15}{8} \times \frac{2}{3} = \frac{5}{4}$

公比が異なるため、等比数列ではない。

「ド・ファ・シ」の場合、振動数はそれぞれ $f$, $\frac{4}{3}f$, $\frac{15}{8}f$である。

$\frac{4}{3}f / f = \frac{4}{3}$

$\frac{15}{8}f / \frac{4}{3}f = \frac{15}{8} \times \frac{3}{4} = \frac{45}{32}$

公比が異なるため、等比数列ではない。

「ミ・ラ・ド」の場合、振動数はそれぞれ $\frac{5}{4}f$, $\frac{5}{3}f$, $2f$である。

$\frac{5}{3}f / \frac{5}{4}f = \frac{5}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{4}{3}$

$2f / \frac{5}{3}f = 2 \times \frac{3}{5} = \frac{6}{5}$

公比が異なるため、等比数列ではない。

「ド・レ・ミ」の場合、振動数はそれぞれ $f, \frac{9}{8}f, \frac{5}{4}f$

$\frac{9}{8}f / f = \frac{9}{8}$

$\frac{5}{4}f / \frac{9}{8}f = \frac{5}{4} \times \frac{8}{9} = \frac{10}{9}$

公比が異なるため、等比数列ではない。

「ド・ソ・ド」の場合、振動数はそれぞれ $f, \frac{3}{2}f, 2f$

$\frac{3}{2}f / f = \frac{3}{2}$

$2f / \frac{3}{2}f = 2 \times \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

公比が異なるため、等比数列ではない。

見つけるのが難しいですが、「ファ・ラ・ド」の場合、振動数はそれぞれ $\frac{4}{3}f$, $\frac{5}{3}f$, $2f$

$\frac{5}{3}f / \frac{4}{3}f = \frac{5}{4}$

$2f / \frac{5}{3}f = 2 \times \frac{3}{5} = \frac{6}{5}$

公比が異なるため、等比数列ではない。

等比数列となる組み合わせは存在しないようです。

しかし、よく見ると「ド・ミ・ソ」の振動数は $f, \frac{5}{4}f, \frac{3}{2}f$ であり、公比は

$\frac{5}{4}f / f = \frac{5}{4}$

$\frac{3}{2}f / \frac{5}{4}f = \frac{3}{2} \times \frac{4}{5} = \frac{6}{5}$

となっています。

3. 最終的な答え

等比数列となる組み合わせは存在しません。問題文に「ド・ミ・ソ」は等比数列ではないと明記されている。