問題は斜面上を運動する物体の運動に関するものです。 (1) 質量 $m$ の物体が、初速度 $V$ で斜面を登り、静止するまでに斜面上を $x$ 滑ったときに、摩擦によって失われた力学的エネルギーを求めます。斜面の傾斜は $3:4:5$ の比で与えられており、動摩擦係数は $1/4$ です。 (2) 物体が静止したときの高さを求めます。

1. 問題の内容

問題は斜面上を運動する物体の運動に関するものです。

(1) 質量 $m$ の物体が、初速度 $V$ で斜面を登り、静止するまでに斜面上を $x$ 滑ったときに、摩擦によって失われた力学的エネルギーを求めます。斜面の傾斜は $3:4:5$ の比で与えられており、動摩擦係数は $1/4$ です。

(2) 物体が静止したときの高さを求めます。

2. 解き方の手順

(1)

摩擦力は $f = \mu N$ で与えられます。ここで $\mu$ は動摩擦係数で $1/4$、 $N$ は垂直抗力です。斜面の傾斜が $3:4:5$ なので、重力 $mg$ の斜面に垂直な方向の成分は $mg \cos\theta = mg \times \frac{4}{5}$ です。したがって、垂直抗力 $N = \frac{4}{5}mg$ となります。

摩擦力 $f$ は $f = \frac{1}{4} \times \frac{4}{5} mg = \frac{1}{5} mg$ となります。

摩擦によって失われた力学的エネルギー $E$ は、摩擦力 $f$ が物体にした仕事の絶対値に等しいので、$E = fx = \frac{1}{5}mgx$ となります。

エネルギー保存則より、

$\frac{1}{2}mV^2 = \frac{3}{5}mgx + \frac{1}{5}mgx = \frac{4}{5}mgx$

(2)

物体の運動エネルギーの変化は、重力による位置エネルギーの変化と摩擦によるエネルギー損失に等しい。

$\frac{1}{2}mV^2 = mgh + \frac{1}{5} mgx$

斜面を滑る距離 $x$ と高さ $h$ の関係は、$h = \frac{3}{5}x$ である。

$\frac{1}{2}mV^2 = mg\frac{3}{5}x + \frac{1}{5} mgx$

$\frac{1}{2}mV^2 = \frac{4}{5}mgx$

$x = \frac{5}{8} \frac{V^2}{g}$

求める高さ $h$ は

$h = \frac{3}{5}x = \frac{3}{5} \times \frac{5}{8} \frac{V^2}{g} = \frac{3}{8} \frac{V^2}{g}$

3. 最終的な答え

(1) 摩擦で失われた力学的エネルギー: $\frac{1}{10} m V^2$

(2) 物体が静止した高さ: $\frac{3}{8} \frac{V^2}{g}$