$n$ は自然数とする。分数 $\frac{256}{n}$ の整数部分が16以上の有限小数となるような $n$ は何個あるか。ただし、有限小数は整数を含まないものとする。

1. 問題の内容

$n$ は自然数とする。分数 $\frac{256}{n}$ の整数部分が16以上の有限小数となるような $n$ は何個あるか。ただし、有限小数は整数を含まないものとする。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{256}{n}$ の整数部分が16以上であるという条件から $n$ の範囲を求める。

$16 \le \frac{256}{n} < 17$

$16n \le 256 < 17n$

$n \le \frac{256}{16}$ かつ $\frac{256}{17} < n$

$n \le 16$ かつ $15.05... < n$

したがって、$16$ は整数ではない有限小数を持つので、$15.05... < n \le 16$ より $n=16$ になる。

次に、$\frac{256}{n}$ が有限小数となる条件を考える。有限小数は分母が $2^a 5^b$ ( $a, b$ は非負整数) の形である分数で表せる。つまり、$\frac{256}{n} = \frac{p}{2^a 5^b}$ ($p$ は整数) と表せる。

$\frac{256}{n}$ が有限小数になるためには、$\frac{256}{n} = \frac{m}{10^k}$ ( $m$ は整数, $k$ は正の整数)と書ける必要がある。$n = 16 = 2^4$なので、 $\frac{256}{16} = \frac{256}{2^4} = 2^4 = 16$

しかし、整数を含まない有限小数とあるので、この値は整数なので、条件を満たさない。

分数 $\frac{256}{n}$ の整数部分が16以上なので、$16 \le \frac{256}{n} < 17$ となる。すなわち $15 < n \le 16$。

$n=16$ の場合、 $\frac{256}{16} = 16$ は整数なので、条件を満たさない。

$n$ が $15 < n < 16$ を満たす自然数となる条件を満たす $n$ は存在しないので、整数部分が $16$ になることはない。

整数部分が $16$ 以上の有限小数となるには、$\frac{256}{n}$ の整数部分が $16$ 以上で、かつ小数部分が $0$ でない有限小数である必要がある。したがって、$16 \le \frac{256}{n} < 17$ という範囲において、$n$ が $2$ と $5$ 以外の素因数を持たない場合に $\frac{256}{n}$ は有限小数となる。

まず、$16n \le 256 < 17n$ より、$\frac{256}{17} < n \le \frac{256}{16}$。

つまり、$15.05 < n \le 16$。この範囲にある整数は $16$ のみ。

ここで、$n=16=2^4$ なので、 $\frac{256}{16}=16$ は整数となり、題意を満たさない。

しかし、有限小数は整数を含まないものとあるので、$\frac{256}{n}$ が有限小数となるためには、$\frac{256}{n}$ が $16.1, 16.2, ..., 16.999...$ のような値を取る必要がある。

$n$ は自然数なので、$n=1, 2, 3, \dots$。

$\frac{256}{n}$ が有限小数となるのは、$n$ が $2^a 5^b$ の形をしている場合。

$2^0 = 1, 2^1 = 2, 2^2 = 4, 2^3 = 8, 2^4 = 16, 2^5 = 32, \dots$

$5^0 = 1, 5^1 = 5, 5^2 = 25, 5^3 = 125, \dots$

$n=1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, \dots$

$n$ が上記リストのいずれかであり、かつ $15 < n \le 16$ を満たす必要がある。しかし、この範囲を満たす自然数は $n=16$ のみであるが、$\frac{256}{16}=16$ は整数であるため条件を満たさない。

ここで、$n$ が $15.05 < n \le 16$ を満たす必要はない。$\frac{256}{n} \ge 16$ であればよい。

$n=16$ で $\frac{256}{n} = 16$ となる。

もし、$n=17$ なら $\frac{256}{17} = 15.0588...$

$16$ 以上で有限小数になるためには、

$16.0 = \frac{160}{10} = \frac{2^5 \cdot 5}{2 \cdot 5} = 2^4$ なので、$n = 16$

$\frac{256}{16} = 16$ なので整数となるため、有限小数ではない。

結局、$n$ が存在しない。

3. 最終的な答え

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