* **問1**: 質量50kgの人がエレベータ内で体重を測る問題。エレベータが下降または上昇しているときの台ばかりの目盛りを求める。重力加速度は9.8 m/s^2。 * **問2**: 静止していた電車が動き出したとき、天井から吊るされた振り子の糸が鉛直方向と10°の角度をなして静止していた。このときの電車の加速度の大きさを求める。重力加速度は9.8 m/s^2、tan 10° = 0.18。 * **問3**: 一定加速度 $a_0$ で水平な直線上を走る列車内で、天井から質量 $m$ のおもりをつけた長さ $\ell$ の糸を吊るすとき、糸の傾きの角と張力を求める。また、このおもりを微小振動させたときの振動の周期を求める。 * **問4**: 回転座標系で現れるコリオリの力の方向が、速度方向と垂直であることを示す。

1. 問題の内容

* **問1**: 質量50kgの人がエレベータ内で体重を測る問題。エレベータが下降または上昇しているときの台ばかりの目盛りを求める。重力加速度は9.8 m/s^2。

* **問2**: 静止していた電車が動き出したとき、天井から吊るされた振り子の糸が鉛直方向と10°の角度をなして静止していた。このときの電車の加速度の大きさを求める。重力加速度は9.8 m/s^2、tan 10° = 0.18。

* **問3**: 一定加速度 $a_0$ で水平な直線上を走る列車内で、天井から質量 $m$ のおもりをつけた長さ $\ell$ の糸を吊るすとき、糸の傾きの角と張力を求める。また、このおもりを微小振動させたときの振動の周期を求める。

* **問4**: 回転座標系で現れるコリオリの力の方向が、速度方向と垂直であることを示す。

2. 解き方の手順

* **問1**:

(i) エレベータが下降している場合、見かけの重力加速度は $g - a$ となる。ここで、$g = 9.8 \ m/s^2$、$a = 2.5 \ m/s^2$。台ばかりの目盛りは、$m(g - a)$ を $g$ で割ったものとなる。

(ii) エレベータが上昇している場合、見かけの重力加速度は $g + a$ となる。台ばかりの目盛りは、$m(g + a)$ を $g$ で割ったものとなる。

* **問2**:

振り子には重力 $mg$ と張力 $T$ が働く。電車内の観測者から見ると、水平方向に慣性力 $ma$ が働く。糸が鉛直方向と10°の角度をなして静止しているとき、水平方向と鉛直方向の力のつり合いが成り立つ。tan 10° = 0.18 を用いて加速度 $a$ を求める。

水平方向: $T \sin 10^\circ = ma$

鉛直方向: $T \cos 10^\circ = mg$

$\tan 10^\circ = \frac{a}{g}$

$a = g \tan 10^\circ$

* **問3**:

糸の傾きの角を $\theta$ とする。列車内の観測者から見ると、おもりには重力 $mg$ と水平方向に慣性力 $ma_0$ が働く。これらの合力と糸の張力 $T$ が釣り合っている。

$\tan \theta = \frac{ma_0}{mg} = \frac{a_0}{g}$

$\theta = \arctan \frac{a_0}{g}$

$T = \sqrt{(mg)^2 + (ma_0)^2} = m\sqrt{g^2 + a_0^2}$

微小振動の周期は、有効重力加速度 $g_{eff} = \sqrt{g^2 + a_0^2}$を用いて、 $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g_{eff}}}$ となる。

* **問4**:

コリオリの力は $F = -2m(\omega \times v)$ で与えられる。ここで、$\omega$ は回転角速度ベクトル、$v$ は速度ベクトル。外積 $\omega \times v$ の方向は、$\omega$ と $v$ の両方に垂直な方向となる。したがって、コリオリの力の方向は速度方向 $v$ に垂直となる。

3. 最終的な答え

* **問1**:

(i) エレベータ下降時: $50 \times (9.8 - 2.5) / 9.8 = 37.24 \ kg$. よって37.2 kg

(ii) エレベータ上昇時: $50 \times (9.8 + 2.5) / 9.8 = 62.76 \ kg$. よって62.8 kg

* **問2**:

$a = 9.8 \times 0.18 = 1.764 \ m/s^2$

* **問3**:

糸の傾きの角: $\theta = \arctan \frac{a_0}{g}$

糸の張力: $T = m\sqrt{g^2 + a_0^2}$

微小振動の周期: $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{\sqrt{g^2 + a_0^2}}}$

* **問4**:

コリオリの力の方向は、速度方向と垂直である。（証明は上記参照）