ベクトル $\mathbf{a} = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ と $\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}$ が与えられたとき、以下の値を求める。 (1) $\lVert \mathbf{a} \rVert$ (a のノルム) (2) $\lVert \mathbf{b} \rVert$ (b のノルム) (3) $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ (a と b の内積) (4) $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ (a と b の外積) (5) $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b})$ (a と a×b の内積) (6) $\mathbf{b} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b})$ (b と a×b の内積)

1. 問題の内容

ベクトル $\mathbf{a} = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ と $\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}$ が与えられたとき、以下の値を求める。

(1) $\lVert \mathbf{a} \rVert$ (a のノルム)

(2) $\lVert \mathbf{b} \rVert$ (b のノルム)

(3) $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ (a と b の内積)

(4) $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ (a と b の外積)

(5) $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b})$ (a と a×b の内積)

(6) $\mathbf{b} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b})$ (b と a×b の内積)

2. 解き方の手順

(1) ベクトルのノルムは、各成分の2乗の和の平方根で計算される。

$\lVert \mathbf{a} \rVert = \sqrt{2^2 + 0^2 + 0^2}$

(2) 同様に、

$\lVert \mathbf{b} \rVert = \sqrt{0^2 + 3^2 + 0^2}$

(3) ベクトルの内積は、対応する成分の積の和で計算される。

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (2)(0) + (0)(3) + (0)(0)$

(4) ベクトルの外積は以下の式で計算される。

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{bmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{bmatrix}$

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{bmatrix} (0)(0) - (0)(3) \\ (0)(0) - (2)(0) \\ (2)(3) - (0)(0) \end{bmatrix}$

(5) (4)で求めた $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ と $\mathbf{a}$ の内積を計算する。

(6) (4)で求めた $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ と $\mathbf{b}$ の内積を計算する。

3. 最終的な答え

(1) $\lVert \mathbf{a} \rVert = \sqrt{2^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$

$\lVert \mathbf{a} \rVert = 2$

(2) $\lVert \mathbf{b} \rVert = \sqrt{0^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3$

$\lVert \mathbf{b} \rVert = 3$

(3) $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (2)(0) + (0)(3) + (0)(0) = 0$

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$

(4) $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{bmatrix} (0)(0) - (0)(3) \\ (0)(0) - (2)(0) \\ (2)(3) - (0)(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{bmatrix}$

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{bmatrix}$

(5) $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = (2)(0) + (0)(0) + (0)(6) = 0$

$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = 0$

(6) $\mathbf{b} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = (0)(0) + (3)(0) + (0)(6) = 0$

$\mathbf{b} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = 0$