与えられた微分方程式を解く問題です。 微分方程式は以下の通りです。 $R\frac{dQ}{dt} + L\frac{d^2Q}{dt^2} + \frac{Q}{C} = V_0 \cos(\omega t)$

1. 問題の内容

与えられた微分方程式を解く問題です。

微分方程式は以下の通りです。

$R\frac{dQ}{dt} + L\frac{d^2Q}{dt^2} + \frac{Q}{C} = V_0 \cos(\omega t)$

2. 解き方の手順

この問題は、RLC回路における電荷$Q(t)$の時間変化を表す二階線形非同次微分方程式を解くことに相当します。

まず、同次方程式を解きます。

$R\frac{dQ}{dt} + L\frac{d^2Q}{dt^2} + \frac{Q}{C} = 0$

特性方程式は

$Lr^2 + Rr + \frac{1}{C} = 0$

となり、この解 $r$ は、回路の減衰特性によって異なります。

次に、非同次方程式の特殊解を求めます。

与えられた強制項が $V_0 \cos(\omega t)$ なので、特殊解を

$Q(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t)$

と仮定します。

この仮定解を微分方程式に代入し、$A$ と $B$ を求めます。

$\frac{dQ}{dt} = -A\omega \sin(\omega t) + B\omega \cos(\omega t)$

$\frac{d^2Q}{dt^2} = -A\omega^2 \cos(\omega t) - B\omega^2 \sin(\omega t)$

これらを元の微分方程式に代入すると、

$R(-A\omega \sin(\omega t) + B\omega \cos(\omega t)) + L(-A\omega^2 \cos(\omega t) - B\omega^2 \sin(\omega t)) + \frac{1}{C}(A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t)) = V_0 \cos(\omega t)$

$\cos(\omega t)$ と $\sin(\omega t)$ の係数を比較すると、以下の2つの式が得られます。

$-RA\omega - LB\omega^2 + \frac{B}{C} = 0$

$RB\omega - LA\omega^2 + \frac{A}{C} = V_0$

これらの式を $A$ と $B$ について解きます。

$A(\frac{1}{C} - L\omega^2) + B(R\omega) = V_0$

$-A(R\omega) + B(\frac{1}{C} - L\omega^2) = 0$

上の式から、$B = \frac{R\omega A}{(\frac{1}{C} - L\omega^2)}$が得られます。

これを一つ目の式に代入して、

$A(\frac{1}{C} - L\omega^2) + \frac{R\omega A}{(\frac{1}{C} - L\omega^2)}(R\omega) = V_0$

$A((\frac{1}{C} - L\omega^2)^2 + (R\omega)^2) = V_0(\frac{1}{C} - L\omega^2)$

$A = \frac{V_0(\frac{1}{C} - L\omega^2)}{(\frac{1}{C} - L\omega^2)^2 + (R\omega)^2}$

$B = \frac{V_0(R\omega)}{(\frac{1}{C} - L\omega^2)^2 + (R\omega)^2}$

したがって、特殊解は

$Q(t) = \frac{V_0(\frac{1}{C} - L\omega^2)}{(\frac{1}{C} - L\omega^2)^2 + (R\omega)^2}\cos(\omega t) + \frac{V_0(R\omega)}{(\frac{1}{C} - L\omega^2)^2 + (R\omega)^2}\sin(\omega t)$

3. 最終的な答え

$Q(t) = \frac{V_0(\frac{1}{C} - L\omega^2)}{(\frac{1}{C} - L\omega^2)^2 + (R\omega)^2}\cos(\omega t) + \frac{V_0(R\omega)}{(\frac{1}{C} - L\omega^2)^2 + (R\omega)^2}\sin(\omega t)$