1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4 の数字が書かれた10枚のカードが入った袋がある。この袋を母集団とし、無作為に1枚ずつ4枚の標本を復元抽出する。 (1) 母集団分布を求めよ。 (2) 母平均と母標準偏差を求めよ。 (3) 標本平均$\bar{X}$ の期待値と標準偏差を求めよ。

1. 問題の内容

1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4 の数字が書かれた10枚のカードが入った袋がある。この袋を母集団とし、無作為に1枚ずつ4枚の標本を復元抽出する。

(1) 母集団分布を求めよ。

(2) 母平均と母標準偏差を求めよ。

(3) 標本平均$\bar{X}$ の期待値と標準偏差を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 母集団分布

母集団の各値とその確率を求める。

- 1の確率: 2/10 = 1/5

- 2の確率: 3/10

- 3の確率: 4/10 = 2/5

- 4の確率: 1/10

(2) 母平均と母標準偏差

母平均$\mu$は各値とその確率の積の和で求められる。

$\mu = 1 * (1/5) + 2 * (3/10) + 3 * (2/5) + 4 * (1/10) = 1/5 + 3/5 + 6/5 + 2/5 = 12/5 = 2.4$

母分散$\sigma^2$は各値とその平均の差の二乗と確率の積の和で求められる。

$\sigma^2 = (1 - 2.4)^2 * (1/5) + (2 - 2.4)^2 * (3/10) + (3 - 2.4)^2 * (2/5) + (4 - 2.4)^2 * (1/10)$

$\sigma^2 = (-1.4)^2 * (1/5) + (-0.4)^2 * (3/10) + (0.6)^2 * (2/5) + (1.6)^2 * (1/10)$

$\sigma^2 = 1.96/5 + 0.16 * 3/10 + 0.36 * 2/5 + 2.56/10 = 0.392 + 0.048 + 0.144 + 0.256 = 0.84$

母標準偏差$\sigma$は母分散の平方根である。

$\sigma = \sqrt{0.84} \approx 0.9165$

(3) 標本平均の期待値と標準偏差

標本平均$\bar{X}$の期待値 $E(\bar{X})$ は母平均$\mu$と等しい。

$E(\bar{X}) = \mu = 2.4$

標本平均$\bar{X}$の標準偏差 $SD(\bar{X})$ は母標準偏差$\sigma$をサンプルサイズの平方根で割ったものである。サンプルサイズは4である。

$SD(\bar{X}) = \sigma / \sqrt{n} = \sqrt{0.84} / \sqrt{4} = \sqrt{0.84} / 2 \approx 0.9165 / 2 \approx 0.4583$

3. 最終的な答え

(1) 母集団分布

- 1: 1/5

- 2: 3/10

- 3: 2/5

- 4: 1/10

(2) 母平均: 2.4

母標準偏差: $\sqrt{0.84} \approx 0.9165$

(3) 標本平均の期待値: 2.4

標本平均の標準偏差: $\sqrt{0.84}/2 \approx 0.4583$