大きさ100の標本があり、その標本平均は56.3、標準偏差は10.2である。母平均 $m$ に対する信頼度95%の信頼区間を求めよ。

1. 問題の内容

大きさ100の標本があり、その標本平均は56.3、標準偏差は10.2である。母平均 $m$ に対する信頼度95%の信頼区間を求めよ。

2. 解き方の手順

母平均 $m$ の信頼区間は、標本平均 $\bar{x}$ 、標本標準偏差 $s$ 、標本サイズ $n$ 、信頼係数 $z_{\alpha/2}$ を用いて次のように表される。

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\bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}} \le m \le \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}}

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ここで、信頼度95%の場合、$z_{\alpha/2} = 1.96$ である。問題文より $\bar{x} = 56.3$, $s = 10.2$, $n = 100$ であるから、これらの値を上記の式に代入する。

まず、$\frac{s}{\sqrt{n}}$ を計算する。

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\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{10.2}{\sqrt{100}} = \frac{10.2}{10} = 1.02

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次に、$z_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}}$ を計算する。

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z_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}} = 1.96 \times 1.02 = 2.00

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信頼区間の下限は

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\bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}} = 56.3 - 2.00 = 54.3

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信頼区間の上限は

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\bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}} = 56.3 + 2.00 = 58.3

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したがって、母平均 $m$ に対する信頼度95%の信頼区間は $54.3 \le m \le 58.3$ となる。

3. 最終的な答え

$54.3 \le m \le 58.3$