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関数 $z = \sin x \sin y$ を偏微分して得られる偏導関数について、選択肢の中から正しいものを全て選ぶ問題です。

解析学偏微分多変数関数三角関数
2025/6/27

1. 問題の内容

関数 z=sin⁡xsin⁡yz = \sin x \sin y を偏微分して得られる偏導関数について、選択肢の中から正しいものを全て選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

まず、zz を xx で偏微分します。yy は定数とみなします。
zx=∂z∂x=∂∂x(sin⁡xsin⁡y)=cos⁡xsin⁡y z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (\sin x \sin y) = \cos x \sin y
次に、zz を yy で偏微分します。xx は定数とみなします。
zy=∂z∂y=∂∂y(sin⁡xsin⁡y)=sin⁡xcos⁡y z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (\sin x \sin y) = \sin x \cos y
選択肢と求めた偏導関数を比較します。
- zx=cos⁡xz_x = \cos x は誤りです。
- zy=cos⁡yz_y = \cos y は誤りです。
- zx=cos⁡xsin⁡yz_x = \cos x \sin y は正しいです。
- zy=sin⁡xcos⁡yz_y = \sin x \cos y は正しいです。
- zx=cos⁡xcos⁡yz_x = \cos x \cos y は誤りです。
- zy=cos⁡xcos⁡yz_y = \cos x \cos y は誤りです。

3. 最終的な答え

zx=cos⁡xsin⁡yz_x = \cos x \sin y
zy=sin⁡xcos⁡yz_y = \sin x \cos y

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