$\sin\theta + \cos\theta$ を一つのsin関数に変形せよ。また、$\sin(\frac{\pi}{6}-\theta)-\cos\theta$が与えられている。

1. 問題の内容

$\sin\theta + \cos\theta$ を一つのsin関数に変形せよ。また、$\sin(\frac{\pi}{6}-\theta)-\cos\theta$が与えられている。

2. 解き方の手順

まず、$\sin\theta + \cos\theta$ を変形する。

$\sin\theta$と$\cos\theta$の係数はどちらも1である。

$A\sin\theta + B\cos\theta = R\sin(\theta+\alpha)$の形に変形することを考える。

ここで$R = \sqrt{A^2+B^2}$である。

この問題では$A=1, B=1$なので、$R=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$となる。

したがって、

$\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta\right)$

$\frac{1}{\sqrt{2}} = \cos\alpha$かつ$\frac{1}{\sqrt{2}} = \sin\alpha$となる$\alpha$を探す。

$\alpha = \frac{\pi}{4}$である。

よって、

$\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}\sin\theta + \sin\frac{\pi}{4}\cos\theta\right)$

$\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)$

次に、$\sin(\frac{\pi}{6}-\theta)-\cos\theta$を変形する。

$\sin(\frac{\pi}{6}-\theta) = \sin\frac{\pi}{6}\cos\theta-\cos\frac{\pi}{6}\sin\theta = \frac{1}{2}\cos\theta-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta$

したがって、

$\sin(\frac{\pi}{6}-\theta)-\cos\theta = \frac{1}{2}\cos\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta - \cos\theta = -\frac{1}{2}\cos\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta$

$-\frac{1}{2}\cos\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta = R\sin(\theta+\alpha)$の形に変形する。

$R = \sqrt{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(-\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}} = \sqrt{1} = 1$

$-\frac{1}{2}\cos\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta = 1\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta - \frac{1}{2}\cos\theta\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta - \frac{1}{2}\cos\theta$

$\cos\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ かつ $\sin\alpha = -\frac{1}{2}$となる$\alpha$を求める。

$\alpha = \frac{7\pi}{6}$

$-\frac{1}{2}\cos\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta = \sin\left(\theta+\frac{7\pi}{6}\right)$

別の表現もできる。

$-\frac{1}{2}\cos\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta = -\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta + \frac{1}{2}\cos\theta\right)$

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\frac{\pi}{6}$, $\frac{1}{2} = \sin\frac{\pi}{6}$

$-\frac{1}{2}\cos\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta = -\left(\cos\frac{\pi}{6}\sin\theta + \sin\frac{\pi}{6}\cos\theta\right) = -\sin\left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)$

3. 最終的な答え

$\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)$

$\sin(\frac{\pi}{6}-\theta)-\cos\theta = -\sin\left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)$または$\sin(\theta+\frac{7\pi}{6})$