与えられた積分を計算します。 $\int (e^{2x} + e^{-x})^4 (2e^{2x} - e^{-x}) dx$

解析学積分置換積分

2025/6/27

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

\int (e^{2x} + e^{-x})^4 (2e^{2x} - e^{-x}) dx

2. 解き方の手順

まず、

u = e^{2x} + e^{-x}

と置換します。

このとき、

\frac{du}{dx} = 2e^{2x} - e^{-x}

となり、

du = (2e^{2x} - e^{-x})dx

が得られます。

したがって、与えられた積分は次のように書き換えることができます。

\int (e^{2x} + e^{-x})^4 (2e^{2x} - e^{-x}) dx = \int u^4 du

次に、積分

\int u^4 du

を計算します。

\int u^4 du = \frac{u^5}{5} + C

ここで、

u = e^{2x} + e^{-x}

を代入すると、

\frac{(e^{2x} + e^{-x})^5}{5} + C

3. 最終的な答え

\frac{(e^{2x} + e^{-x})^5}{5} + C

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