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与えられた積分を計算する問題です。 $\int (x-2)e^x dx$

解析学積分部分積分指数関数
2025/6/27

1. 問題の内容

与えられた積分を計算する問題です。
∫(x−2)exdx\int (x-2)e^x dx

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を用いて解きます。部分積分の公式は
∫udv=uv−∫vdu\int u dv = uv - \int v du
です。
u=x−2u = x-2 と dv=exdxdv = e^x dx とおくと、
du=dxdu = dx と v=∫exdx=exv = \int e^x dx = e^x となります。
したがって、
∫(x−2)exdx=(x−2)ex−∫exdx\int (x-2) e^x dx = (x-2)e^x - \int e^x dx
=(x−2)ex−ex+C= (x-2)e^x - e^x + C
=xex−2ex−ex+C= xe^x - 2e^x - e^x + C
=xex−3ex+C= xe^x - 3e^x + C
=(x−3)ex+C= (x-3)e^x + C

3. 最終的な答え

(x−3)ex+C(x-3)e^x + C

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