放物線 $y = x^2 + x - 6$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + x - 6$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$ 軸との交点を求めます。これは、$y = 0$ となる $x$ の値を求めることで得られます。

$x^2 + x - 6 = 0$

この二次方程式を因数分解すると、

$(x + 3)(x - 2) = 0$

よって、$x = -3$ または $x = 2$ が $x$ 軸との交点です。

したがって、求める面積 $S$ は、定積分を用いて次のように表されます。$x = -3$ から $x = 2$ の範囲で、$x^2 + x - 6$ を積分し、絶対値を取ることで求めることができます。放物線は $x$ 軸の下にあるので、積分結果は負になります。

$S = -\int_{-3}^{2} (x^2 + x - 6) dx$

積分を実行します。

$\int_{-3}^{2} (x^2 + x - 6) dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 6x \right]_{-3}^{2}$

$= \left( \frac{1}{3}(2)^3 + \frac{1}{2}(2)^2 - 6(2) \right) - \left( \frac{1}{3}(-3)^3 + \frac{1}{2}(-3)^2 - 6(-3) \right)$

$= \left( \frac{8}{3} + 2 - 12 \right) - \left( -9 + \frac{9}{2} + 18 \right)$

$= \left( \frac{8}{3} - 10 \right) - \left( 9 + \frac{9}{2} \right)$

$= \frac{8}{3} - 10 - 9 - \frac{9}{2}$

$= \frac{16 - 60 - 54 - 27}{6}$

$= \frac{-125}{6}$

したがって、

$S = -\left( -\frac{125}{6} \right) = \frac{125}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{125}{6}$