関数 $f(x)$ について、$\lim_{x \to a} f(x) = \alpha$ であるための必要十分条件は、$f(x)$ の定義域内の $\lim_{n \to \infty} a_n = a$ を満たす任意の数列 $\{a_n\}$ について、$\lim_{n \to \infty} f(a_n) = \alpha$ となることを示せ。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ について、$\lim_{x \to a} f(x) = \alpha$ であるための必要十分条件は、$f(x)$ の定義域内の $\lim_{n \to \infty} a_n = a$ を満たす任意の数列 $\{a_n\}$ について、$\lim_{n \to \infty} f(a_n) = \alpha$ となることを示せ。

2. 解き方の手順

必要十分条件なので、以下の2つを示す必要があります。

(1) $\lim_{x \to a} f(x) = \alpha$ ならば、$\lim_{n \to \infty} a_n = a$ を満たす任意の数列 $\{a_n\}$ に対して $\lim_{n \to \infty} f(a_n) = \alpha$ であること。

(2) $\lim_{n \to \infty} a_n = a$ を満たす任意の数列 $\{a_n\}$ に対して $\lim_{n \to \infty} f(a_n) = \alpha$ ならば、$\lim_{x \to a} f(x) = \alpha$ であること。

(1) の証明:

$\lim_{x \to a} f(x) = \alpha$ であるとする。これは、任意の $\epsilon > 0$ に対して、ある $\delta > 0$ が存在し、$0 < |x - a| < \delta$ ならば $|f(x) - \alpha| < \epsilon$ が成り立つことを意味する。

また、$\lim_{n \to \infty} a_n = a$ であるとする。これは、任意の $\delta > 0$ に対して、ある自然数 $N$ が存在し、$n > N$ ならば $|a_n - a| < \delta$ が成り立つことを意味する。

任意の $\epsilon > 0$ に対して、上記の $\delta > 0$ をとる。$\lim_{n \to \infty} a_n = a$ より、ある自然数 $N$ が存在し、$n > N$ ならば $|a_n - a| < \delta$ である。

$n > N$ のとき、$|a_n - a| < \delta$ なので、$0 < |a_n - a| < \delta$ (ただし、$a_n \neq a$と仮定する) であり、$\lim_{x \to a} f(x) = \alpha$ より $|f(a_n) - \alpha| < \epsilon$ となる。

したがって、任意の $\epsilon > 0$ に対して、ある自然数 $N$ が存在し、$n > N$ ならば $|f(a_n) - \alpha| < \epsilon$ である。これは $\lim_{n \to \infty} f(a_n) = \alpha$ を意味する。

(2) の証明 (背理法):

$\lim_{n \to \infty} a_n = a$ を満たす任意の数列 $\{a_n\}$ に対して $\lim_{n \to \infty} f(a_n) = \alpha$ であるとする。

ここで、$\lim_{x \to a} f(x) \neq \alpha$ であると仮定する。

これは、ある $\epsilon_0 > 0$ が存在し、任意の $\delta > 0$ に対して、$0 < |x - a| < \delta$ かつ $|f(x) - \alpha| \geq \epsilon_0$ を満たす $x$ が存在することを意味する。

各自然数 $n$ に対して、$\delta = \frac{1}{n}$ とすると、$0 < |a_n - a| < \frac{1}{n}$ かつ $|f(a_n) - \alpha| \geq \epsilon_0$ を満たす $a_n$ が存在する。

このとき、数列 $\{a_n\}$ は $\lim_{n \to \infty} a_n = a$ を満たす。

しかし、$|f(a_n) - \alpha| \geq \epsilon_0$ であるため、$\lim_{n \to \infty} f(a_n) = \alpha$ とはならない。これは仮定に矛盾する。

したがって、$\lim_{x \to a} f(x) = \alpha$ である。

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to a} f(x) = \alpha$ であるための必要十分条件は、$f(x)$ の定義域内の $\lim_{n \to \infty} a_n = a$ を満たす任意の数列 $\{a_n\}$ について、$\lim_{n \to \infty} f(a_n) = \alpha$ となる。