与えられた三角関数の式を、$sin \theta$ と $cos \theta$ を用いて表す問題です。具体的には、以下の３つの式をそれぞれ変形します。 (1) $\sqrt{2} \sin(\theta - \frac{\pi}{4})$ (2) $\sqrt{3} \sin(\theta + \frac{\pi}{3})$ (3) $\sin(\theta + \frac{2\pi}{3}) + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos(\theta - \frac{\pi}{4})$

1. 問題の内容

与えられた三角関数の式を、$sin \theta$ と $cos \theta$ を用いて表す問題です。具体的には、以下の３つの式をそれぞれ変形します。

(1) $\sqrt{2} \sin(\theta - \frac{\pi}{4})$

(2) $\sqrt{3} \sin(\theta + \frac{\pi}{3})$

(3) $\sin(\theta + \frac{2\pi}{3}) + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos(\theta - \frac{\pi}{4})$

2. 解き方の手順

加法定理を利用して、それぞれの式を $sin \theta$ と $cos \theta$ の和の形に変形します。

(1) $\sqrt{2} \sin(\theta - \frac{\pi}{4})$ の変形

加法定理より、$\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ なので、

$\sqrt{2} \sin(\theta - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} (\sin \theta \cos \frac{\pi}{4} - \cos \theta \sin \frac{\pi}{4})$

$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$、$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ を代入すると、

$\sqrt{2} (\sin \theta \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} - \cos \theta \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}) = \sin \theta - \cos \theta$

(2) $\sqrt{3} \sin(\theta + \frac{\pi}{3})$ の変形

加法定理より、$\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ なので、

$\sqrt{3} \sin(\theta + \frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} (\sin \theta \cos \frac{\pi}{3} + \cos \theta \sin \frac{\pi}{3})$

$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$、$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を代入すると、

$\sqrt{3} (\sin \theta \cdot \frac{1}{2} + \cos \theta \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta + \frac{3}{2} \cos \theta$

(3) $\sin(\theta + \frac{2\pi}{3}) + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos(\theta - \frac{\pi}{4})$ の変形

加法定理より、$\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$と$\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$なので、

$\sin(\theta + \frac{2\pi}{3}) = \sin \theta \cos \frac{2\pi}{3} + \cos \theta \sin \frac{2\pi}{3}$

$\cos(\theta - \frac{\pi}{4}) = \cos \theta \cos \frac{\pi}{4} + \sin \theta \sin \frac{\pi}{4}$

$\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$、$\sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$、$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ を代入すると、

$\sin(\theta + \frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta$

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cos(\theta - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\cos \theta \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \sin \theta \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{2} \cos \theta + \frac{1}{2} \sin \theta$

したがって、

$\sin(\theta + \frac{2\pi}{3}) + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos(\theta - \frac{\pi}{4}) = (-\frac{1}{2} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta) + (\frac{1}{2} \cos \theta + \frac{1}{2} \sin \theta) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta + \frac{1}{2} \cos \theta = \frac{\sqrt{3}+1}{2} \cos \theta$

3. 最終的な答え

(1) $\sin \theta - \cos \theta$

(2) $\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta + \frac{3}{2} \cos \theta$

(3) $\frac{\sqrt{3}+1}{2}\cos\theta$