無限級数 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{k-1} - 3^{k-1}}{4^{k-1}}$ の和を求める問題です。

1. 問題の内容

無限級数 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{k-1} - 3^{k-1}}{4^{k-1}}$ の和を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた無限級数を2つの無限等比級数に分割し、それぞれの和を計算します。

まず、与えられた無限級数を以下のように分解します。

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{k-1} - 3^{k-1}}{4^{k-1}} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{k-1}}{4^{k-1}} - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{3^{k-1}}{4^{k-1}}$$

次に、それぞれの級数を計算します。

一つ目の級数：

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{k-1}}{4^{k-1}} = \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{2}{4}\right)^{k-1} = \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}$$

これは初項が1、公比が$\frac{1}{2}$ の等比級数なので、和は $\frac{1}{1-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$です。

二つ目の級数：

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{3^{k-1}}{4^{k-1}} = \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{3}{4}\right)^{k-1}$$

これは初項が1、公比が$\frac{3}{4}$ の等比級数なので、和は $\frac{1}{1-\frac{3}{4}} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$です。

したがって、元の級数の和は $2 - 4 = -2$です。

3. 最終的な答え

-2