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次の極限を求めます。 $\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 - x + 1}{x^2 + 2}$

解析学極限関数の極限
2025/6/27

1. 問題の内容

次の極限を求めます。
lim⁡x→∞4x2−x+1x2+2\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 - x + 1}{x^2 + 2}

2. 解き方の手順

xx が無限大に近づくときの極限を求める問題です。分子と分母を x2x^2 で割ります。
lim⁡x→∞4x2−x+1x2+2=lim⁡x→∞4x2x2−xx2+1x2x2x2+2x2\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 - x + 1}{x^2 + 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4x^2}{x^2} - \frac{x}{x^2} + \frac{1}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} + \frac{2}{x^2}}
=lim⁡x→∞4−1x+1x21+2x2= \lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{2}{x^2}}
xx が無限大に近づくと、1x\frac{1}{x} と 1x2\frac{1}{x^2} は 0 に近づきます。したがって、
=4−0+01+0=41=4= \frac{4 - 0 + 0}{1 + 0} = \frac{4}{1} = 4

3. 最終的な答え

4

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