次の極限を計算します。 $\lim_{x \to 4} \frac{x-4}{\sqrt{x-3}-1}$

1. 問題の内容

次の極限を計算します。

$\lim_{x \to 4} \frac{x-4}{\sqrt{x-3}-1}$

2. 解き方の手順

まず、$x=4$ を代入すると、$\frac{0}{0}$ の不定形になるので、分母を有理化します。

分母の共役な式である $\sqrt{x-3}+1$ を分母と分子に掛けます。

$\lim_{x \to 4} \frac{x-4}{\sqrt{x-3}-1} = \lim_{x \to 4} \frac{(x-4)(\sqrt{x-3}+1)}{(\sqrt{x-3}-1)(\sqrt{x-3}+1)}$

分母を展開します。

$(\sqrt{x-3}-1)(\sqrt{x-3}+1) = (x-3) - 1 = x-4$

したがって、

$\lim_{x \to 4} \frac{(x-4)(\sqrt{x-3}+1)}{x-4}$

$x \to 4$ のとき、$x \neq 4$ なので、$x-4$ で約分できます。

$\lim_{x \to 4} \frac{(x-4)(\sqrt{x-3}+1)}{x-4} = \lim_{x \to 4} (\sqrt{x-3}+1)$

$x=4$ を代入して、極限を計算します。

$\lim_{x \to 4} (\sqrt{x-3}+1) = \sqrt{4-3}+1 = \sqrt{1}+1 = 1+1 = 2$

3. 最終的な答え

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