$\sin^{-1} x + \cos^{-1} x$ が定数であることを示し、その定数の値を求める。

1. 問題の内容

$\sin^{-1} x + \cos^{-1} x$ が定数であることを示し、その定数の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = \sin^{-1} x + \cos^{-1} x$ とおく。

$f(x)$ が定数であることを示すには、$f'(x) = 0$ を示せばよい。

$\sin^{-1} x$ の微分は $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ であり、$\cos^{-1} x$ の微分は $-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ である。

したがって、

$f'(x) = \frac{d}{dx} (\sin^{-1} x + \cos^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = 0$

$f'(x) = 0$ であるから、$f(x)$ は定数である。

定数の値を求めるために、$x$ に特定の値（例えば $x = 0$ や $x = 1$）を代入する。

$x = 0$ のとき、$\sin^{-1} 0 = 0$ であり、$\cos^{-1} 0 = \frac{\pi}{2}$ である。

したがって、$f(0) = \sin^{-1} 0 + \cos^{-1} 0 = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$。

$x = 1$ のとき、$\sin^{-1} 1 = \frac{\pi}{2}$ であり、$\cos^{-1} 1 = 0$ である。

したがって、$f(1) = \sin^{-1} 1 + \cos^{-1} 1 = \frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{2}$。

よって、$f(x)$ は定数 $\frac{\pi}{2}$ である。

3. 最終的な答え

$\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$