実数 $x$ に対して、無限級数 $x + \frac{x}{1+x-x^2} + \frac{x}{(1+x-x^2)^2} + \frac{x}{(1+x-x^2)^3} + \cdots + \frac{x}{(1+x-x^2)^{n-1}} + \cdots$ が収束するような $x$ の値の範囲と、そのときの無限級数の和を求める。

1. 問題の内容

実数 $x$ に対して、無限級数

$x + \frac{x}{1+x-x^2} + \frac{x}{(1+x-x^2)^2} + \frac{x}{(1+x-x^2)^3} + \cdots + \frac{x}{(1+x-x^2)^{n-1}} + \cdots$

が収束するような $x$ の値の範囲と、そのときの無限級数の和を求める。

2. 解き方の手順

与えられた無限級数は、初項が $x$、公比が $\frac{1}{1+x-x^2}$ の等比級数であるとみなせる（最初の項だけ別扱い）。

したがって、

$S = x + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{(1+x-x^2)^n} = x + \frac{\frac{x}{1+x-x^2}}{1 - \frac{1}{1+x-x^2}}$

が成り立つ。

ただし、この等比級数が収束するためには、公比の絶対値が1より小さい必要がある。すなわち、

$|\frac{1}{1+x-x^2}| < 1$

$|1+x-x^2| > 1$

が必要である。

$1+x-x^2 > 1$ のとき、$x-x^2 > 0$ より $x(1-x) > 0$。

これは $0 < x < 1$ を意味する。

$1+x-x^2 < -1$ のとき、$x-x^2 < -2$ より $x^2 - x - 2 > 0$。

$(x-2)(x+1) > 0$ より、$x < -1$ または $x > 2$ である。

次に、無限級数の和を計算する。

$S = x + \frac{\frac{x}{1+x-x^2}}{\frac{1+x-x^2-1}{1+x-x^2}} = x + \frac{x}{x-x^2} = x + \frac{1}{1-x}$

ただし、$x(1-x) \ne 0$が必要なので、$x \ne 0, x \ne 1$を確認する必要がある。

以上より、$0<x<1$の場合、

$|\frac{1}{1+x-x^2}| < 1$を満たし、$S = x + \frac{1}{1-x} = \frac{x(1-x)+1}{1-x} = \frac{-x^2+x+1}{1-x}$である。

$x<-1$または$x>2$の場合、$|\frac{1}{1+x-x^2}| < 1$を満たし、$S = x + \frac{1}{1-x} = \frac{-x^2+x+1}{1-x}$である。

3. 最終的な答え

収束する $x$ の範囲は $x < -1$ または $0 < x < 1$ または $x > 2$ であり、そのときの無限級数の和は $\frac{-x^2+x+1}{1-x}$ である。

```

x < -1, 0 < x < 1, x > 2

和: (-x^2 + x + 1) / (1 - x)

```