極限 $\lim_{x \to -1} \frac{ax^2 + bx + 2}{x + 1} = 1$ が成り立つように、定数 $a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to -1} \frac{ax^2 + bx + 2}{x + 1} = 1$ が成り立つように、定数 $a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\lim_{x \to -1} (x+1) = 0$ であるので、極限が存在するためには、$\lim_{x \to -1} (ax^2 + bx + 2) = 0$ である必要がある。

したがって、

$a(-1)^2 + b(-1) + 2 = 0$

$a - b + 2 = 0$

$b = a + 2$

となる。

この結果を元の式に代入すると、

$\lim_{x \to -1} \frac{ax^2 + (a+2)x + 2}{x + 1} = 1$

$\lim_{x \to -1} \frac{ax^2 + ax + 2x + 2}{x + 1} = 1$

$\lim_{x \to -1} \frac{ax(x + 1) + 2(x + 1)}{x + 1} = 1$

$\lim_{x \to -1} \frac{(ax + 2)(x + 1)}{x + 1} = 1$

$x \neq -1$ であれば $x+1$ で割ることができるので、

$\lim_{x \to -1} (ax + 2) = 1$

$a(-1) + 2 = 1$

$-a = -1$

$a = 1$

となる。

$b = a + 2$ であったから、$b = 1 + 2 = 3$ となる。

3. 最終的な答え

$a = 1$, $b = 3$