$\lim_{x \to \infty} \frac{(2x+1)(3x-1)}{x^2+2x+3}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} \frac{(2x+1)(3x-1)}{x^2+2x+3}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

xを無限大に飛ばすときの極限を求める問題です。

分子と分母をそれぞれ展開します。

分子を展開すると、$(2x+1)(3x-1) = 6x^2 - 2x + 3x - 1 = 6x^2 + x - 1$ となります。

分母は $x^2+2x+3$ のままです。

したがって、与えられた式は次のようになります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{6x^2 + x - 1}{x^2 + 2x + 3}$

分子と分母を $x^2$ で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ および $\frac{1}{x^2} \to 0$ なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}} = \frac{6+0-0}{1+0+0} = \frac{6}{1} = 6$

3. 最終的な答え

6