与えられた極限を計算します。 $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1-x^2} - \sqrt{1-x}} $$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

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\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1-x^2} - \sqrt{1-x}}

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2. 解き方の手順

まず、分子と分母それぞれに共役な式をかけます。

分子の共役な式は $\sqrt{1+x} + \sqrt{1+x^2}$ で、分母の共役な式は $\sqrt{1-x^2} + \sqrt{1-x}$ です。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1-x^2} - \sqrt{1-x}} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1+x} - \sqrt{1+x^2})(\sqrt{1+x} + \sqrt{1+x^2})(\sqrt{1-x^2} + \sqrt{1-x})}{(\sqrt{1-x^2} - \sqrt{1-x})(\sqrt{1-x^2} + \sqrt{1-x})(\sqrt{1+x} + \sqrt{1+x^2})}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{(1+x - (1+x^2))(\sqrt{1-x^2} + \sqrt{1-x})}{(1-x^2 - (1-x))(\sqrt{1+x} + \sqrt{1+x^2})}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{(x - x^2)(\sqrt{1-x^2} + \sqrt{1-x})}{(x - x^2)(\sqrt{1+x} + \sqrt{1+x^2})}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{x(1-x)(\sqrt{1-x^2} + \sqrt{1-x})}{x(1-x)(\sqrt{1+x} + \sqrt{1+x^2})}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-x^2} + \sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x} + \sqrt{1+x^2}}$

$x \to 0$ のとき、$\sqrt{1-x^2} \to 1$、$\sqrt{1-x} \to 1$、$\sqrt{1+x} \to 1$、$\sqrt{1+x^2} \to 1$ となるので、

$= \frac{1 + 1}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 1$

3. 最終的な答え

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