次の極限を求めよ。 $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+7}-3}{x-2}$

解析学極限有理化不定形

2025/6/27

1. 問題の内容

次の極限を求めよ。

\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+7}-3}{x-2}

2. 解き方の手順

x=2

を代入すると、

\frac{0}{0}

となる不定形である。そこで、分子を有理化する。

\frac{\sqrt{x+7}-3}{x-2} = \frac{(\sqrt{x+7}-3)(\sqrt{x+7}+3)}{(x-2)(\sqrt{x+7}+3)} = \frac{(x+7) - 9}{(x-2)(\sqrt{x+7}+3)} = \frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{x+7}+3)} = \frac{1}{\sqrt{x+7}+3}

ただし、

x \neq 2

とする。

よって、

\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+7}-3}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{x+7}+3} = \frac{1}{\sqrt{2+7}+3} = \frac{1}{\sqrt{9}+3} = \frac{1}{3+3} = \frac{1}{6}

3. 最終的な答え

\frac{1}{6}

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