$\lim_{x \to 2} \frac{ax^2 + bx + 1}{x - 2} = 1$ が成り立つように、$a$と$b$の値を求める。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 2} \frac{ax^2 + bx + 1}{x - 2} = 1$ が成り立つように、$a$と$b$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x$が2に近づくとき、分母は0に近づきます。極限が存在して有限の値になるためには、分子も0に近づく必要があります。したがって、$x=2$を分子に代入したときに0になる必要があります。

$4a + 2b + 1 = 0$

これから、$b$を$a$で表すことができます。

$2b = -4a - 1$

$b = -2a - \frac{1}{2}$

これを元の式に代入します。

$\lim_{x \to 2} \frac{ax^2 + (-2a - \frac{1}{2})x + 1}{x - 2} = 1$

$\lim_{x \to 2} \frac{ax^2 - (2a + \frac{1}{2})x + 1}{x - 2} = 1$

ここで分子の式を因数分解することを考えます。因数分解できることが分かっているので、$x-2$の因数を持つはずです。

$ax^2 - (2a + \frac{1}{2})x + 1 = (x-2)(ax+c)$とおきます。

展開すると$ax^2 + (c-2a)x - 2c$となります。

$-2c = 1$より、$c = -\frac{1}{2}$です。

$c - 2a = -2a - \frac{1}{2}$なので、これは正しいです。

したがって、

$ax^2 - (2a + \frac{1}{2})x + 1 = (x-2)(ax - \frac{1}{2})$

元の式に代入すると

$\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(ax - \frac{1}{2})}{x - 2} = 1$

$x \neq 2$のとき、$x-2$で約分できます。

$\lim_{x \to 2} (ax - \frac{1}{2}) = 1$

$2a - \frac{1}{2} = 1$

$2a = \frac{3}{2}$

$a = \frac{3}{4}$

$b = -2a - \frac{1}{2} = -2(\frac{3}{4}) - \frac{1}{2} = -\frac{3}{2} - \frac{1}{2} = -2$

3. 最終的な答え

$a = \frac{3}{4}$

$b = -2$