関数 $f(x) = -\frac{x}{2} + \sin x$ (ただし、$0 \le x \le \pi$)の極値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -\frac{x}{2} + \sin x$ (ただし、$0 \le x \le \pi$)の極値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = -\frac{1}{2} + \cos x$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$-\frac{1}{2} + \cos x = 0$

$\cos x = \frac{1}{2}$

$0 \le x \le \pi$ の範囲でこれを満たす $x$ は、$x = \frac{\pi}{3}$ です。

次に、$x = \frac{\pi}{3}$ の前後で $f'(x)$ の符号がどう変化するか調べます。

$x = \frac{\pi}{6}$ のとき、$f'(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2} + \cos \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2} > 0$

$x = \frac{\pi}{2}$ のとき、$f'(\frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{2} + \cos \frac{\pi}{2} = -\frac{1}{2} + 0 = -\frac{1}{2} < 0$

したがって、$x = \frac{\pi}{3}$ の前後で $f'(x)$ の符号は正から負に変化するため、$x = \frac{\pi}{3}$ で極大値をとります。

極大値を求めます。

$f(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\pi/3}{2} + \sin \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3} - \pi}{6}$

区間の端点における値を調べます。

$f(0) = -\frac{0}{2} + \sin 0 = 0$

$f(\pi) = -\frac{\pi}{2} + \sin \pi = -\frac{\pi}{2}$

$f(0) > f(\pi)$ より、$x=\pi$で極小値をとるわけではない。

3. 最終的な答え

$x = \frac{\pi}{3}$ のとき極大値 $f(\frac{\pi}{3}) = \frac{3\sqrt{3} - \pi}{6}$, 極小値なし