関数 $f(x)$ は閉区間 $\overline{I}$ で連続、開区間 $I$ で微分可能であるとき、以下の選択肢から正しいものをすべて選ぶ問題です。ただし、$I = (a, b)$, $\overline{I} = [a, b]$ とします。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ は閉区間 $\overline{I}$ で連続、開区間 $I$ で微分可能であるとき、以下の選択肢から正しいものをすべて選ぶ問題です。ただし、$I = (a, b)$, $\overline{I} = [a, b]$ とします。

2. 解き方の手順

* 選択肢1: $f(x)$ が $\overline{I}$ において単調増加であるための必要十分条件は、$I$ において $f'(x) \geq 0$ が成り立つことである。

これは正しいです。$f'(x) \geq 0$ ならば $f(x)$ は単調増加、 $f(x)$ が単調増加ならば $f'(x) \geq 0$です。

* 選択肢2: $g(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 7$ は閉区間 $[-1, 2]$ において単調増加である。

$g'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2) = 6(x - 2)(x + 1)$

$g'(x) = 0$ となるのは $x = -1, 2$ のときです。

$-1 < x < 2$ のとき $g'(x) < 0$ なので、$g(x)$ は単調減少です。したがって、この選択肢は誤りです。

* 選択肢3: $f(x)$ が $\overline{I}$ で狭義単調減少ならば、$I$ 上で $f'(x) < 0$ が成り立つ。

これは正しいです。狭義単調減少であれば、$f'(x) \le 0$ であり、$f'(x)=0$となる区間が存在しないので、$f'(x) < 0$となります。

* 選択肢4: $I$ において $f'(x) > 0$ ならば、$f(x)$ は $I$ で狭義単調増加である。

これは正しいです。

* 選択肢5: $f(x)$ は $I$ において $f'(x) > 0$ かつ $f(a) = 0$ ならば、$f(b) > 0$ である。

$f'(x) > 0$ なので、$f(x)$ は $I$ で狭義単調増加です。したがって、$a < b$ なので、$f(a) < f(b)$ です。$f(a) = 0$ なので、$f(b) > 0$ となります。したがって、この選択肢は正しいです。

3. 最終的な答え

選択肢1, 3, 4, 5