与えられた積分を計算します。 $\int \frac{dx}{1 - \cos x}$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

$\int \frac{dx}{1 - \cos x}$

2. 解き方の手順

まず、$1 - \cos x$ を $1 + \cos x$ で分子と分母に掛けます。

$\int \frac{1}{1 - \cos x} dx = \int \frac{1 + \cos x}{(1 - \cos x)(1 + \cos x)} dx = \int \frac{1 + \cos x}{1 - \cos^2 x} dx$

三角関数の恒等式 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ より、$1 - \cos^2 x = \sin^2 x$ であるから、

$\int \frac{1 + \cos x}{\sin^2 x} dx = \int \frac{1}{\sin^2 x} dx + \int \frac{\cos x}{\sin^2 x} dx$

$\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = \int \csc^2 x dx = - \cot x + C_1$

$\int \frac{\cos x}{\sin^2 x} dx$ については、$u = \sin x$ と置換すると、$du = \cos x dx$ となるため、

$\int \frac{\cos x}{\sin^2 x} dx = \int \frac{1}{u^2} du = \int u^{-2} du = -u^{-1} + C_2 = - \frac{1}{\sin x} + C_2 = - \csc x + C_2$

したがって、

$\int \frac{1}{\sin^2 x} dx + \int \frac{\cos x}{\sin^2 x} dx = - \cot x - \csc x + C$

3. 最終的な答え

$- \cot x - \csc x + C$