関数 $f(x)$, $g(x)$, $h(x)$ が与えられています。それぞれの関数が実数直線上で連続となるように、パラメータ $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ の値を求めなさい。ただし、そのような値が存在しない場合は「なし」と答えなさい。 ここで、関数は以下のように定義されています。 $f(x) = \begin{cases} \cos(\frac{1}{x}) & (x \ne 0) \\ \alpha & (x = 0) \end{cases}$ $g(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 25}{x - 5} & (x \ne 5) \\ \beta & (x = 5) \end{cases}$ $h(x) = \begin{cases} \frac{|x|^2}{x} & (x \ne 0) \\ \gamma & (x = 0) \end{cases}$

1. 問題の内容

関数 $f(x)$, $g(x)$, $h(x)$ が与えられています。それぞれの関数が実数直線上で連続となるように、パラメータ $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ の値を求めなさい。ただし、そのような値が存在しない場合は「なし」と答えなさい。

ここで、関数は以下のように定義されています。

$f(x) = \begin{cases} \cos(\frac{1}{x}) & (x \ne 0) \\ \alpha & (x = 0) \end{cases}$

$g(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 25}{x - 5} & (x \ne 5) \\ \beta & (x = 5) \end{cases}$

$h(x) = \begin{cases} \frac{|x|^2}{x} & (x \ne 0) \\ \gamma & (x = 0) \end{cases}$

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(x)$ の連続性について

$x = 0$ での連続性を考えます。$x \to 0$ のとき、$\cos(\frac{1}{x})$ は振動し、極限値を持ちません。したがって、$\alpha$ の値に関わらず、$f(x)$ は $x=0$ で連続になりません。

(2) 関数 $g(x)$ の連続性について

$x = 5$ での連続性を考えます。$x \ne 5$ のとき、

$g(x) = \frac{x^2 - 25}{x - 5} = \frac{(x - 5)(x + 5)}{x - 5} = x + 5$

したがって、$\lim_{x \to 5} g(x) = \lim_{x \to 5} (x + 5) = 10$

$g(5) = \beta$ であるため、$g(x)$ が $x = 5$ で連続となるためには、$\beta = 10$ である必要があります。

(3) 関数 $h(x)$ の連続性について

$x = 0$ での連続性を考えます。$x \ne 0$ のとき、

$h(x) = \frac{|x|^2}{x} = \frac{x^2}{x} = x$

したがって、$\lim_{x \to 0} h(x) = \lim_{x \to 0} x = 0$

$h(0) = \gamma$ であるため、$h(x)$ が $x = 0$ で連続となるためには、$\gamma = 0$ である必要があります。

3. 最終的な答え

$f(x)$: $\alpha$ = なし

$g(x)$: $\beta$ = 10

$h(x)$: $\gamma$ = 0