関数 $f(x) = x + \cos x$ ($0 \le x \le 2\pi$) の増減表を完成させ、グラフの概形を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x + \cos x$ ($0 \le x \le 2\pi$) の増減表を完成させ、グラフの概形を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f'(x)$ と $f''(x)$ を計算します。

$f'(x) = 1 - \sin x$

$f''(x) = -\cos x$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$1 - \sin x = 0$

$\sin x = 1$

$x = \frac{\pi}{2}$

次に、$f''(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$-\cos x = 0$

$\cos x = 0$

$x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$

増減表を作成します。$x=0$, $\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2}$, $2\pi$ における $f'(x)$, $f''(x)$, $f(x)$ の値を計算します。

- $x = 0$:

$f'(0) = 1 - \sin(0) = 1 > 0$

$f''(0) = -\cos(0) = -1 < 0$

$f(0) = 0 + \cos(0) = 1$

- $x = \frac{\pi}{2}$:

$f'(\frac{\pi}{2}) = 1 - \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 - 1 = 0$

$f''(\frac{\pi}{2}) = -\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

$f(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} + \cos(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{2}$

- $x = \frac{3\pi}{2}$:

$f'(\frac{3\pi}{2}) = 1 - \sin(\frac{3\pi}{2}) = 1 - (-1) = 2 > 0$

$f''(\frac{3\pi}{2}) = -\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$

$f(\frac{3\pi}{2}) = \frac{3\pi}{2} + \cos(\frac{3\pi}{2}) = \frac{3\pi}{2} + 0 = \frac{3\pi}{2}$

- $x = 2\pi$:

$f'(2\pi) = 1 - \sin(2\pi) = 1 - 0 = 1 > 0$

$f''(2\pi) = -\cos(2\pi) = -1 < 0$

$f(2\pi) = 2\pi + \cos(2\pi) = 2\pi + 1$

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ では $f'(x) > 0$ かつ $f''(x) < 0$ なので、$f(x)$ は増加かつ上に凸。

$\frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{2}$ では $f'(x) > 0$ かつ $f''(x) > 0$ なので、$f(x)$ は増加かつ下に凸。

$\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi$ では $f'(x) > 0$ かつ $f''(x) < 0$ なので、$f(x)$ は増加かつ上に凸。

3. 最終的な答え

増減表は以下のようになります。

| x | 0 | ... | $\frac{\pi}{2}$ | ... | $\frac{3\pi}{2}$ | ... | $2\pi$ |

|---------|--------|-------|-----------------|--------|-------------------|-------|---------|

| f'(x) | + | + | 0 | + | + | + | + |

| f''(x) | - | - | 0 | + | 0 | - | - |

| f(x) | 1 | | $\frac{\pi}{2}$ | | $\frac{3\pi}{2}$ | | $2\pi+1$|

グラフは単調増加ですが、$\frac{\pi}{2}$ と $\frac{3\pi}{2}$ で凹凸が変わります。