関数 $f(x)$ が $\bar{I}$ で連続、 $I$ 上で微分可能であるとき、以下の選択肢から正しいものをすべて選ぶ問題です。ただし、$I = (a, b), \bar{I} = [a, b]$ とします。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が $\bar{I}$ で連続、 $I$ 上で微分可能であるとき、以下の選択肢から正しいものをすべて選ぶ問題です。ただし、$I = (a, b), \bar{I} = [a, b]$ とします。

2. 解き方の手順

各選択肢について検討します。

(1) $g(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 7$ は閉区間 $[-1, 2]$ において単調増加である。

$g'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2) = 6(x - 2)(x + 1)$

$g'(x) = 0$ となるのは $x = -1, 2$ のとき。

$g'(x)$ の符号は、$-1 < x < 2$ で $g'(x) < 0$ となり、単調減少。したがって、この選択肢は誤り。

(2) $f(x)$ は $I$ において $f'(x) > 0$ かつ $f(a) = 0$ ならば、$f(b) > 0$ である。

$f'(x) > 0$ であるので、$f(x)$ は $I$ で狭義単調増加。$f(a) = 0$ であるから、$a < x < b$ において $f(x) > f(a) = 0$。特に $f(x)$ は $b$ に近づくにつれ増加するため、$f(b) > 0$ が成り立つ。したがって、この選択肢は正しい。

(3) $I$ において $f'(x) > 0$ ならば、$f(x)$ は $I$ で狭義単調増加である。

$f'(x) > 0$ ならば、$f(x)$ は $I$ で狭義単調増加である。したがって、この選択肢は正しい。

(4) $f(x)$ が $\bar{I}$ で狭義単調減少ならば、$I$ 上で $f'(x) < 0$ が成り立つ。

$f(x)$ が $\bar{I}$ で狭義単調減少であるとき、$f'(x) \le 0$ が成り立つ。$f'(x) = 0$ となる点が存在する可能性があるので、$f'(x) < 0$ とは限らない。したがって、この選択肢は誤り。

(5) $f(x)$ が $\bar{I}$ において単調増加であるための必要十分条件は、$I$ において $f'(x) \ge 0$ が成り立つことである。

$f(x)$ が $\bar{I}$ において単調増加であるとき、$I$ において $f'(x) \ge 0$ が成り立つ。したがって、この選択肢は正しい。

3. 最終的な答え

(2), (3), (5)