与えられた積分 $\int \frac{dx}{1-\cos x}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{dx}{1-\cos x}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まずは、分母と分子に $1 + \cos x$ を掛けます。

$$\int \frac{dx}{1-\cos x} = \int \frac{1 + \cos x}{(1-\cos x)(1+\cos x)} dx = \int \frac{1 + \cos x}{1 - \cos^2 x} dx$$

三角関数の恒等式 $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$ を使うと、

$$\int \frac{1 + \cos x}{\sin^2 x} dx = \int \left( \frac{1}{\sin^2 x} + \frac{\cos x}{\sin^2 x} \right) dx$$

さらに、$\frac{1}{\sin^2 x} = \csc^2 x$ と $\frac{\cos x}{\sin^2 x} = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\sin x} = \cot x \csc x$ を使うと、

$$\int (\csc^2 x + \cot x \csc x) dx$$

$\csc^2 x$ の積分は $-\cot x$ であり、$\cot x \csc x$ の積分は $-\csc x$ であることを利用します。

$$\int \csc^2 x dx = -\cot x$$

$$\int \cot x \csc x dx = -\csc x$$

したがって、

$$\int (\csc^2 x + \cot x \csc x) dx = -\cot x - \csc x + C$$

別の解法として、$t = \tan(\frac{x}{2})$ と置換することもできます。

このとき、$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ かつ $dx = \frac{2}{1+t^2} dt$ が成り立ちます。

$$\int \frac{dx}{1-\cos x} = \int \frac{\frac{2}{1+t^2}}{1 - \frac{1-t^2}{1+t^2}} dt = \int \frac{\frac{2}{1+t^2}}{\frac{1+t^2 - (1-t^2)}{1+t^2}} dt = \int \frac{2}{2t^2} dt = \int \frac{1}{t^2} dt$$

$$= -\frac{1}{t} + C = -\frac{1}{\tan(\frac{x}{2})} + C = -\cot(\frac{x}{2}) + C$$

$\cot(\frac{x}{2}) = \frac{1 + \cos x}{\sin x} = \frac{1}{\sin x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \csc x + \cot x$ であるから、答えは同じになります。

3. 最終的な答え

$-\cot x - \csc x + C$

または

$-\cot(\frac{x}{2}) + C$