xy平面上で、不等式 $\log_2 x \leq 2 + \log_2 y \leq \log_2 x + \log_2 (4-2x)$ を満たす点(x, y)の範囲をDとする。 (1) Dをxy平面上に図示せよ。 (2) s < 1のとき、y - sx のD上での最大値 f(s) を求めよ。

1. 問題の内容

xy平面上で、不等式 $\log_2 x \leq 2 + \log_2 y \leq \log_2 x + \log_2 (4-2x)$ を満たす点(x, y)の範囲をDとする。

(1) Dをxy平面上に図示せよ。

(2) s < 1のとき、y - sx のD上での最大値 f(s) を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、対数の定義域から、$x>0$, $y>0$, $4-2x>0$ である。

つまり、$0 < x < 2$かつ$y > 0$。

不等式を整理する。

$\log_2 x \leq 2 + \log_2 y$ より

$\log_2 x \leq \log_2 4 + \log_2 y$

$\log_2 x \leq \log_2 4y$

$x \leq 4y$

$y \geq \frac{x}{4}$

$2 + \log_2 y \leq \log_2 x + \log_2 (4-2x)$ より

$\log_2 4y \leq \log_2 x(4-2x)$

$4y \leq x(4-2x)$

$4y \leq 4x - 2x^2$

$y \leq x - \frac{x^2}{2}$

$y \leq -\frac{1}{2}x^2 + x$

$y \leq -\frac{1}{2}(x^2 - 2x)$

$y \leq -\frac{1}{2}(x^2 - 2x + 1 - 1)$

$y \leq -\frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{1}{2}$

したがって、Dは、$0 < x < 2$, $y > 0$ かつ $y \geq \frac{x}{4}$ かつ $y \leq -\frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{1}{2}$ を満たす領域である。

グラフは、$y = \frac{x}{4}$ と $y = -\frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{1}{2}$ の交点を求めると、

$\frac{x}{4} = -\frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{1}{2}$

$\frac{x}{4} = -\frac{1}{2}(x^2 - 2x + 1) + \frac{1}{2}$

$\frac{x}{4} = -\frac{1}{2}x^2 + x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

$\frac{x}{4} = -\frac{1}{2}x^2 + x$

$x = -2x^2 + 4x$

$2x^2 - 3x = 0$

$x(2x - 3) = 0$

$x = 0, \frac{3}{2}$

$x=0$のとき、$y=0$。 $x=\frac{3}{2}$のとき、$y = \frac{3}{8}$。

(2)

$y - sx = k$とおくと、$y = sx + k$である。これを最大にするkを求める。

$y = sx + k$ がDと接するとき、kは最大となる。

$y = -\frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{1}{2}$と$y = sx + k$が接するとき、

$-\frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{1}{2} = sx + k$

$-\frac{1}{2}(x^2 - 2x + 1) + \frac{1}{2} = sx + k$

$-\frac{1}{2}x^2 + x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = sx + k$

$-\frac{1}{2}x^2 + x = sx + k$

$\frac{1}{2}x^2 + (s-1)x + k = 0$

$x^2 + 2(s-1)x + 2k = 0$

判別式D = $4(s-1)^2 - 8k = 0$

$(s-1)^2 = 2k$

$k = \frac{(s-1)^2}{2}$

接点のx座標は$x = 1-s$

$0 < 1-s < 2$なので、$-1<s<1$。$s<1$の条件を満たしている。

接点のy座標は$y = s(1-s) + \frac{(s-1)^2}{2} = s - s^2 + \frac{s^2 - 2s + 1}{2} = s - s^2 + \frac{1}{2}s^2 - s + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}s^2 + \frac{1}{2} = \frac{1-s^2}{2}$

この接点が、$y \geq \frac{x}{4}$ を満たすかどうか確認する。

$\frac{1-s^2}{2} \geq \frac{1-s}{4}$

$2(1-s^2) \geq 1-s$

$2 - 2s^2 \geq 1-s$

$2s^2 - s - 1 \leq 0$

$(2s+1)(s-1) \leq 0$

$-\frac{1}{2} \leq s \leq 1$

よって、$-\frac{1}{2} \leq s < 1$のとき、$f(s) = \frac{(s-1)^2}{2}$

$s < - \frac{1}{2}$のとき、 $y = sx + k$は$(\frac{3}{2}, \frac{3}{8})$を通るとき最大となる。

$\frac{3}{8} - s \frac{3}{2} = k$

$k = \frac{3}{8} - \frac{3}{2}s$

$f(s) = \frac{3}{8} - \frac{3}{2}s$

3. 最終的な答え

$f(s) = \begin{cases} \frac{3}{8} - \frac{3}{2}s & s \leq -\frac{1}{2} \\ \frac{(s-1)^2}{2} & -\frac{1}{2} < s < 1 \end{cases}$