関数 $y = \frac{3x}{x^2+1}$ のグラフの概形を描く。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{3x}{x^2+1}$ のグラフの概形を描く。

2. 解き方の手順

この関数のグラフを描くために、以下の手順で解析します。

(1) 関数の定義域を確認する。

分母が $x^2+1$ であり、これは常に正であるため、定義域はすべての実数です。

(2) 対称性を調べる。

$f(x) = \frac{3x}{x^2+1}$ とすると、

$f(-x) = \frac{3(-x)}{(-x)^2+1} = \frac{-3x}{x^2+1} = -f(x)$

となるため、この関数は奇関数であり、原点に関して対称です。

(3) 極値を求める。

導関数を求めます。

$y' = \frac{3(x^2+1) - 3x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{3x^2+3 - 6x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{-3x^2+3}{(x^2+1)^2} = \frac{3(1-x^2)}{(x^2+1)^2}$

$y'=0$ となるのは $1-x^2=0$ のときなので、$x = \pm 1$。

$x = 1$ のとき、$y = \frac{3(1)}{1^2+1} = \frac{3}{2}$。

$x = -1$ のとき、$y = \frac{3(-1)}{(-1)^2+1} = \frac{-3}{2}$。

したがって、極大値は $(1, \frac{3}{2})$、極小値は $(-1, -\frac{3}{2})$ です。

(4) 変曲点を求める。

2階導関数を求めます。

$y'' = \frac{d}{dx} \left( \frac{3-3x^2}{(x^2+1)^2} \right) = \frac{-6x(x^2+1)^2 - (3-3x^2)2(x^2+1)(2x)}{(x^2+1)^4}$

$y'' = \frac{-6x(x^2+1) - (3-3x^2)(4x)}{(x^2+1)^3} = \frac{-6x^3-6x - 12x+12x^3}{(x^2+1)^3} = \frac{6x^3-18x}{(x^2+1)^3} = \frac{6x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}$

$y'' = 0$ となるのは $x=0, x=\pm \sqrt{3}$ のとき。

$x=0$ のとき、$y = 0$。

$x=\sqrt{3}$ のとき、$y = \frac{3\sqrt{3}}{3+1} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$。

$x=-\sqrt{3}$ のとき、$y = \frac{-3\sqrt{3}}{3+1} = -\frac{3\sqrt{3}}{4}$。

したがって、変曲点は $(0,0)$, $(\sqrt{3}, \frac{3\sqrt{3}}{4})$, $(-\sqrt{3}, -\frac{3\sqrt{3}}{4})$ です。

(5) 漸近線を調べる。

$x \to \infty$ のとき、$y \to 0$ であり、$x \to -\infty$ のとき、$y \to 0$ であるため、$y=0$ (x軸) は漸近線です。

3. 最終的な答え

グラフの概形は、原点に関して対称で、極大値 $(1, \frac{3}{2})$、極小値 $(-1, -\frac{3}{2})$、変曲点 $(0,0)$, $(\sqrt{3}, \frac{3\sqrt{3}}{4})$, $(-\sqrt{3}, -\frac{3\sqrt{3}}{4})$ を持ち、x軸が漸近線となるような曲線を描きます。

（詳細なグラフの描画は省略しますが、以上の情報に基づいて概形を描くことができます。）