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関数 $f(x) = -x^2 + 2x$ の区間 $a \le x \le a+1$ における最大値を $M(a)$ とする。$M(a)$を求める問題を解く。

解析学最大値関数二次関数平方完成場合分け
2025/6/28

1. 問題の内容

関数 f(x)=−x2+2xf(x) = -x^2 + 2x の区間 a≤x≤a+1a \le x \le a+1 における最大値を M(a)M(a) とする。M(a)M(a)を求める問題を解く。

2. 解き方の手順

まず、f(x)f(x) を平方完成する。
f(x)=−(x2−2x)=−(x2−2x+1)+1=−(x−1)2+1f(x) = -(x^2 - 2x) = -(x^2 - 2x + 1) + 1 = -(x - 1)^2 + 1
したがって、f(x)f(x) のグラフは頂点が (1,1)(1, 1) で、x=1x = 1 を軸とする上に凸な放物線である。
M(a)M(a) は区間 a≤x≤a+1a \le x \le a+1 での f(x)f(x) の最大値である。軸 x=1x = 1 が区間 a≤x≤a+1a \le x \le a+1 に含まれるかどうかで場合分けをする。
(i) a>1a > 1 のとき:
区間 a≤x≤a+1a \le x \le a+1 は x=1x=1 より右側にある。f(x)f(x) は x=1x=1 から遠ざかるほど小さくなるので、f(a)f(a) が最大値となる。
M(a)=f(a)=−a2+2aM(a) = f(a) = -a^2 + 2a
(ii) a+1<1a+1 < 1, つまり a<0a < 0 のとき:
区間 a≤x≤a+1a \le x \le a+1 は x=1x=1 より左側にある。f(x)f(x) は x=1x=1 から遠ざかるほど小さくなるので、f(a+1)f(a+1) が最大値となる。
M(a)=f(a+1)=−(a+1)2+2(a+1)=−(a2+2a+1)+2a+2=−a2−2a−1+2a+2=−a2+1M(a) = f(a+1) = -(a+1)^2 + 2(a+1) = -(a^2 + 2a + 1) + 2a + 2 = -a^2 - 2a - 1 + 2a + 2 = -a^2 + 1
(iii) a≤1≤a+1a \le 1 \le a+1, つまり 0≤a≤10 \le a \le 1 のとき:
区間 a≤x≤a+1a \le x \le a+1 が x=1x=1 を含む。f(x)f(x) は x=1x=1 で最大値 11 を取るので、M(a)=1M(a) = 1
まとめると、
(i) a<0a < 0 のとき、M(a)=−a2+1M(a) = -a^2 + 1
(ii) 0≤a≤10 \le a \le 1 のとき、M(a)=1M(a) = 1
(iii) a>1a > 1 のとき、M(a)=−a2+2aM(a) = -a^2 + 2a
ア: (1, 1)
イ: 1
ウ: 0
エ: -1
オ: 0
カ: 1
キ: 1
ク: 0
ケ: 0
コ: 1
サ: -1
シ: 2
ス: 0

3. 最終的な答え

ア: (1, 1)
イ: 1
ウ: 0
エ: -1
オ: 0
カ: 1
キ: 1
ク: 0
ケ: 0
コ: 1
サ: -1
シ: 2
ス: 0

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