$\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}$ であることを用いて、$\sin\frac{\pi}{12} \cos\frac{\pi}{12}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}$ であることを用いて、$\sin\frac{\pi}{12} \cos\frac{\pi}{12}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sin\frac{\pi}{12}$ と $\cos\frac{\pi}{12}$ の値をそれぞれ求めます。

$\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}$ なので、三角関数の加法定理を用います。

$\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$

$\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$

したがって、

$\sin\frac{\pi}{12} = \sin(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}) = \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6} - \cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$\cos\frac{\pi}{12} = \cos(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}) = \cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6} + \sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

次に、$\sin\frac{\pi}{12} \cos\frac{\pi}{12}$ の値を計算します。

$\sin\frac{\pi}{12} \cos\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} = \frac{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2}{16} = \frac{6-2}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

別の解き方として、2倍角の公式 $\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ を使うこともできます。

$\sin\frac{\pi}{12} \cos\frac{\pi}{12} = \frac{1}{2} \sin(2\cdot\frac{\pi}{12}) = \frac{1}{2} \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}$