実数 $a$ を定数とし、関数 $f(x) = -x^2 + 2x + 1$ ($a \le x \le a+1$) の最小値を $m(a)$ とする。 $f(x)$ のグラフの頂点、軸の方程式、区間の中央の値、そして $m(a)$ を $a$ の範囲によって場合分けして求める問題です。

1. 問題の内容

実数 $a$ を定数とし、関数 $f(x) = -x^2 + 2x + 1$ ($a \le x \le a+1$) の最小値を $m(a)$ とする。 $f(x)$ のグラフの頂点、軸の方程式、区間の中央の値、そして $m(a)$ を $a$ の範囲によって場合分けして求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x) = -x^2 + 2x + 1$ を平方完成します。

$f(x) = -(x^2 - 2x) + 1 = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1 = -(x-1)^2 + 1 + 1 = -(x-1)^2 + 2$

これにより、$f(x)$ のグラフは頂点が $(1, 2)$ であり、軸が $x = 1$ の上に凸な放物線であることがわかります。

区間 $a \le x \le a+1$ の中央の値は $\frac{a + (a+1)}{2} = \frac{2a+1}{2} = a + \frac{1}{2}$ です。

次に、$x = 1$ と $x = a + \frac{1}{2}$ の大小関係によって場合分けします。すなわち、$1 < a + \frac{1}{2}$ と $1 \ge a + \frac{1}{2}$ で場合分けします。

(i) $1 < a + \frac{1}{2}$ のとき、$a > \frac{1}{2}$。このとき、区間 $a \le x \le a+1$ は軸 $x=1$ の右側にあり、関数は単調減少です。したがって、区間の右端 $x = a+1$ で最小値をとります。

$m(a) = f(a+1) = -(a+1)^2 + 2(a+1) + 1 = -(a^2 + 2a + 1) + 2a + 2 + 1 = -a^2 - 2a - 1 + 2a + 3 = -a^2 + 2$

(ii) $1 \ge a + \frac{1}{2}$ のとき、$a \le \frac{1}{2}$。このとき、区間 $a \le x \le a+1$ が軸 $x=1$ を含むか、または軸の左側にあります。軸を含む場合は頂点で最小値をとることはなく、最小値は区間の端点でとります。今回は軸を区間が含む可能性があります。軸が区間に含まれる時$a \le 1 \le a+1$から$0 \le a \le 1$で最大値を取ります。最小値は区間の端でとります。$x=1$で最大値を取るということは、区間の端の方が最小値を取るということになり、つまり$a \le 1/2$の時、$m(a)=f(a+1)=-a^2+2$となります。

(i) $a > \frac{1}{2}$ のとき、$m(a) = -a^2 + 2$

(ii) $a \le \frac{1}{2}$ のとき、$m(a) = -a^2 + 2$

ただし、$a \le \frac{1}{2}$ のとき、$a \le 1$かつ$a+1 \ge 1$ であること、すなわち $0 \le a \le 1$を満たします。

$a \le 1/2$のとき $f(x) = -x^2 + 2x + 1$は$a \le x \le a+1$で単調減少ではありませんので、軸$x=1$における値が最大値である可能性を考慮する必要があります。

$a+1<1$, $a<0$のとき、$m(a)=f(a+1) = -(a+1)^2+2(a+1)+1=-a^2+2$

$a>1$の時、$m(a)=f(a) = -a^2+2a+1$

$a<1/2$の時、$f(a)=-a^2+2a+1$

$a \ge 1/2$の時、$f(a+1)=-a^2+2$

(i) $a \ge 1/2$の時、$m(a) = -a^2 + 2$

(ii) $a < 1/2$の時、$m(a) = -a^2 + 2a + 1$

3. 最終的な答え

ア：(1,2)

イ：1

ウ：a+1/2

エ：1/2

オ：-1

カ：0

キ：2

ク：-1

ケ：2

コ：1