関数 $y = (x^3 + 2x)(x^2 + x + 2)(3x + 1)$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = (x^3 + 2x)(x^2 + x + 2)(3x + 1)$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

積の微分法を用いる。3つの関数の積の微分は、以下のようになる。

$(uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'$

ここで、

$u = x^3 + 2x$

$v = x^2 + x + 2$

$w = 3x + 1$

とすると、それぞれの導関数は、

$u' = 3x^2 + 2$

$v' = 2x + 1$

$w' = 3$

となる。

したがって、$y' = (x^3 + 2x)'(x^2 + x + 2)(3x + 1) + (x^3 + 2x)(x^2 + x + 2)'(3x + 1) + (x^3 + 2x)(x^2 + x + 2)(3x + 1)'$

$y' = (3x^2 + 2)(x^2 + x + 2)(3x + 1) + (x^3 + 2x)(2x + 1)(3x + 1) + (x^3 + 2x)(x^2 + x + 2)(3)$

これを展開して整理する。

第1項: $(3x^2 + 2)(x^2 + x + 2)(3x + 1) = (3x^2 + 2)(3x^3 + 4x^2 + 7x + 2) = 9x^5 + 12x^4 + 21x^3 + 6x^2 + 6x^3 + 8x^2 + 14x + 4 = 9x^5 + 12x^4 + 27x^3 + 14x^2 + 14x + 4$

第2項: $(x^3 + 2x)(2x + 1)(3x + 1) = (x^3 + 2x)(6x^2 + 5x + 1) = 6x^5 + 5x^4 + x^3 + 12x^3 + 10x^2 + 2x = 6x^5 + 5x^4 + 13x^3 + 10x^2 + 2x$

第3項: $3(x^3 + 2x)(x^2 + x + 2) = 3(x^5 + x^4 + 2x^3 + 2x^3 + 2x^2 + 4x) = 3(x^5 + x^4 + 4x^3 + 2x^2 + 4x) = 3x^5 + 3x^4 + 12x^3 + 6x^2 + 12x$

$y' = 9x^5 + 12x^4 + 27x^3 + 14x^2 + 14x + 4 + 6x^5 + 5x^4 + 13x^3 + 10x^2 + 2x + 3x^5 + 3x^4 + 12x^3 + 6x^2 + 12x$

$y' = (9 + 6 + 3)x^5 + (12 + 5 + 3)x^4 + (27 + 13 + 12)x^3 + (14 + 10 + 6)x^2 + (14 + 2 + 12)x + 4$

$y' = 18x^5 + 20x^4 + 52x^3 + 30x^2 + 28x + 4$

3. 最終的な答え

$y' = 18x^5 + 20x^4 + 52x^3 + 30x^2 + 28x + 4$