$0 \leq x \leq 2\pi$ において、関数 $f(x) = \sqrt{2}\sin{x} - \sqrt{2}\cos{x} + 1 - 2\sin{x}\cos{x}$ について、以下の問いに答える。 (1) $t = \sin{x} - \cos{x}$ とおくとき、$t$ のとりうる値の範囲を求める。 (2) $f(x)$ を (1) で定義した $t$ を用いて表す。 (3) $f(x)$ の最小値と最大値を求め、さらにそのときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

$0 \leq x \leq 2\pi$ において、関数 $f(x) = \sqrt{2}\sin{x} - \sqrt{2}\cos{x} + 1 - 2\sin{x}\cos{x}$ について、以下の問いに答える。

(1) $t = \sin{x} - \cos{x}$ とおくとき、$t$ のとりうる値の範囲を求める。

(2) $f(x)$ を (1) で定義した $t$ を用いて表す。

(3) $f(x)$ の最小値と最大値を求め、さらにそのときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $t = \sin{x} - \cos{x}$ を変形する。

三角関数の合成を用いると、

$t = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin{x} - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos{x}) = \sqrt{2}(\sin{x}\cos{\frac{\pi}{4}} - \cos{x}\sin{\frac{\pi}{4}})$

$t = \sqrt{2}\sin{(x - \frac{\pi}{4})}$

$0 \leq x \leq 2\pi$ より、$-\frac{\pi}{4} \leq x - \frac{\pi}{4} \leq \frac{7\pi}{4}$

よって、$-1 \leq \sin{(x - \frac{\pi}{4})} \leq 1$

したがって、$-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}$

(2) $t = \sin{x} - \cos{x}$ より、$t^2 = (\sin{x} - \cos{x})^2 = \sin^2{x} - 2\sin{x}\cos{x} + \cos^2{x} = 1 - 2\sin{x}\cos{x}$

よって、$2\sin{x}\cos{x} = 1 - t^2$

$f(x) = \sqrt{2}(\sin{x} - \cos{x}) + 1 - 2\sin{x}\cos{x} = \sqrt{2}t + 1 - (1 - t^2) = t^2 + \sqrt{2}t$

(3) $f(x) = t^2 + \sqrt{2}t = (t + \frac{\sqrt{2}}{2})^2 - \frac{1}{2}$

$-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}$ における $f(x)$ の最大値と最小値を求める。

$t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、最小値 $f(x) = -\frac{1}{2}$

このとき、$\sin{(x - \frac{\pi}{4})} = -\frac{1}{2}$ より、$x - \frac{\pi}{4} = \frac{7}{6}\pi, \frac{11}{6}\pi$

よって、$x = \frac{17}{12}\pi, \frac{25}{12}\pi$

$t = \sqrt{2}$ のとき、最大値 $f(x) = (\sqrt{2})^2 + \sqrt{2}\cdot \sqrt{2} = 2 + 2 = 4$

このとき、$\sin{(x - \frac{\pi}{4})} = 1$ より、$x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

よって、$x = \frac{3}{4}\pi$

3. 最終的な答え

(1) $-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}$

(2) $f(x) = t^2 + \sqrt{2}t$

(3)

最大値：4 ($x = \frac{3}{4}\pi$ のとき)

最小値：$-\frac{1}{2}$ ($x = \frac{17}{12}\pi, \frac{25}{12}\pi$ のとき)