初項 $1/4$、公比 $1/4$ の等比数列の、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を、$S_n$ と $1/4 S_n$ の差を利用して求め、さらにこの等比数列の無限和 $\lim_{n\to\infty} S_n$ を求める。

## 問56

1. 問題の内容

初項 $1/4$、公比 $1/4$ の等比数列の、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を、$S_n$ と $1/4 S_n$ の差を利用して求め、さらにこの等比数列の無限和 $\lim_{n\to\infty} S_n$ を求める。

2. 解き方の手順

* $S_n$ を求める。

$S_n = \frac{1}{4} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^3} + \dots + \frac{1}{4^n}$

* $\frac{1}{4}S_n$ を計算する。

$\frac{1}{4} S_n = \frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^3} + \dots + \frac{1}{4^n} + \frac{1}{4^{n+1}}$

* $S_n - \frac{1}{4}S_n$ を計算する。

$S_n - \frac{1}{4}S_n = \frac{1}{4} - \frac{1}{4^{n+1}}$

$\frac{3}{4}S_n = \frac{1}{4} - \frac{1}{4^{n+1}}$

* $S_n$ について解く。

$S_n = \frac{4}{3}(\frac{1}{4} - \frac{1}{4^{n+1}})$

$S_n = \frac{1}{3} - \frac{1}{3 \cdot 4^n}$

* 無限和 $\lim_{n\to\infty} S_n$ を求める。

$\lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} (\frac{1}{3} - \frac{1}{3 \cdot 4^n})$

$\lim_{n\to\infty} S_n = \frac{1}{3} - \lim_{n\to\infty} \frac{1}{3 \cdot 4^n}$

$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{3 \cdot 4^n} = 0$　であるから

$\lim_{n\to\infty} S_n = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$S_n = \frac{1}{3} - \frac{1}{3 \cdot 4^n}$

$\lim_{n\to\infty} S_n = \frac{1}{3}$

## 問57

1. 問題の内容

$a > 0$ のとき $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a} = 1$ であることを示す。

2. 解き方の手順

* $a > 1$ のとき

$\sqrt[n]{a} = 1 + h_n$ とおく ($h_n > 0$)。

$a = (1 + h_n)^n$

二項定理より

$a = 1 + nh_n + \frac{n(n-1)}{2!} h_n^2 + \dots + h_n^n > 1 + nh_n$

$a > 1 + nh_n$

$a - 1 > nh_n$

$0 < h_n < \frac{a - 1}{n}$

$\lim_{n\to\infty} \frac{a - 1}{n} = 0$ より、$\lim_{n\to\infty} h_n = 0$

したがって、$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a} = \lim_{n\to\infty} (1 + h_n) = 1$

* $a = 1$ のとき

$\sqrt[n]{a} = \sqrt[n]{1} = 1$ より、$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a} = 1$

* $0 < a < 1$ のとき

$a = \frac{1}{b}$ とおくと、$b > 1$ である。

$\sqrt[n]{a} = \sqrt[n]{\frac{1}{b}} = \frac{1}{\sqrt[n]{b}}$

$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{b} = 1$ より、$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{b}} = \frac{1}{1} = 1$

したがって、$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a} = 1$

3. 最終的な答え

$a > 0$ のとき $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a} = 1$

## 問58

1. 問題の内容

数列の極限を用いてネイピア数 $e$ の定義を書く。

2. 解き方の手順

ネイピア数 $e$ は、以下の極限で定義される。

$e = \lim_{n\to\infty} (1 + \frac{1}{n})^n$

または

$e = \lim_{n\to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}}$

3. 最終的な答え

$e = \lim_{n\to\infty} (1 + \frac{1}{n})^n$ または $e = \lim_{x\to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}}$