次の関数を微分せよ。 (1) $y = \tan^{-1}\frac{x-1}{x+1}$ (2) $y = \sin^{-1}(e^{-x^2})$ (3) $y = \tan^{-1}(e^x + e^{-x})$

1. 問題の内容

次の関数を微分せよ。

(1) $y = \tan^{-1}\frac{x-1}{x+1}$

(2) $y = \sin^{-1}(e^{-x^2})$

(3) $y = \tan^{-1}(e^x + e^{-x})$

2. 解き方の手順

(1) $y = \tan^{-1}\frac{x-1}{x+1}$

$\tan^{-1}$の微分公式: $\frac{d}{dx}\tan^{-1}u = \frac{1}{1+u^2}\frac{du}{dx}$ を使う。

$u = \frac{x-1}{x+1}$ とおく。

$\frac{du}{dx} = \frac{(x+1)(1)-(x-1)(1)}{(x+1)^2} = \frac{x+1-x+1}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+(\frac{x-1}{x+1})^2} \cdot \frac{2}{(x+1)^2} = \frac{1}{\frac{(x+1)^2 + (x-1)^2}{(x+1)^2}} \cdot \frac{2}{(x+1)^2} = \frac{(x+1)^2}{(x+1)^2 + (x-1)^2} \cdot \frac{2}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2 + (x-1)^2} = \frac{2}{x^2+2x+1 + x^2-2x+1} = \frac{2}{2x^2+2} = \frac{1}{x^2+1}$

(2) $y = \sin^{-1}(e^{-x^2})$

$\sin^{-1}$の微分公式: $\frac{d}{dx}\sin^{-1}u = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\frac{du}{dx}$ を使う。

$u = e^{-x^2}$ とおく。

$\frac{du}{dx} = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2xe^{-x^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-(e^{-x^2})^2}} \cdot (-2xe^{-x^2}) = \frac{-2xe^{-x^2}}{\sqrt{1-e^{-2x^2}}}$

(3) $y = \tan^{-1}(e^x + e^{-x})$

$\tan^{-1}$の微分公式: $\frac{d}{dx}\tan^{-1}u = \frac{1}{1+u^2}\frac{du}{dx}$ を使う。

$u = e^x + e^{-x}$ とおく。

$\frac{du}{dx} = e^x - e^{-x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+(e^x + e^{-x})^2} \cdot (e^x - e^{-x}) = \frac{e^x - e^{-x}}{1+(e^x + e^{-x})^2} = \frac{e^x - e^{-x}}{1+e^{2x}+2+e^{-2x}} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^{2x}+e^{-2x}+3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2+1}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{-2xe^{-x^2}}{\sqrt{1-e^{-2x^2}}}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^{2x}+e^{-2x}+3}$