問題は2つあります。 (1) $f(x) = \log(1+x)$ の $x=0$ における $n$ 次のテイラー展開を、剰余項も含めて求めよ。 (2) $\cos x$ の有限マクローリン展開とラグランジュの剰余項 $R_{2n+1}(x)$ を確認せよ。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) $f(x) = \log(1+x)$ の $x=0$ における $n$ 次のテイラー展開を、剰余項も含めて求めよ。

(2) $\cos x$ の有限マクローリン展開とラグランジュの剰余項 $R_{2n+1}(x)$ を確認せよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \log(1+x)$ のテイラー展開

$f(x) = \log(1+x)$ の $n$ 次導関数を求めます。

$f(x) = \log(1+x)$

$f'(x) = \frac{1}{1+x}$

$f''(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}$

$f'''(x) = \frac{2}{(1+x)^3}$

$f^{(4)}(x) = -\frac{6}{(1+x)^4}$

一般に、$f^{(n)}(x) = (-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{(1+x)^n}$ ($n \ge 1$)

$x=0$ での値を計算します。

$f(0) = \log(1+0) = 0$

$f'(0) = 1$

$f''(0) = -1$

$f'''(0) = 2$

$f^{(4)}(0) = -6$

一般に、$f^{(n)}(0) = (-1)^{n-1}(n-1)!$ ($n \ge 1$)

テイラー展開は次のようになります。

$f(x) = f(0) + \sum_{k=1}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k + R_n(x)$

$f(x) = 0 + \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{k!}x^k + R_n(x)$

$f(x) = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k}x^k + R_n(x)$

$f(x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + R_n(x)$

ラグランジュの剰余項は次のようになります。

$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1}$ ($0 < \theta < 1$)

$R_n(x) = \frac{(-1)^n n!}{(1+\theta x)^{n+1}(n+1)!}x^{n+1}$

$R_n(x) = \frac{(-1)^n}{n+1} \frac{x^{n+1}}{(1+\theta x)^{n+1}}$

(2) $\cos x$ のマクローリン展開

$\cos x$ の導関数を求めます。

$(\cos x)' = -\sin x$

$(\cos x)'' = -\cos x$

$(\cos x)''' = \sin x$

$(\cos x)^{(4)} = \cos x$

以下、周期的に繰り返されます。

$\cos(0) = 1$

$-\sin(0) = 0$

$-\cos(0) = -1$

$\sin(0) = 0$

マクローリン展開は次のようになります。

$\cos x = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k + R_{2n+1}(x)$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + R_{2n+1}(x)$

ラグランジュの剰余項は次のようになります。

$R_{2n+1}(x) = \frac{f^{(2n+2)}(\theta x)}{(2n+2)!} x^{2n+2}$ ($0 < \theta < 1$)

$f^{(2n+2)}(x)$ は $\pm \cos x$ または $\pm \sin x$ なので、絶対値は1以下です。

$|R_{2n+1}(x)| = |\frac{f^{(2n+2)}(\theta x)}{(2n+2)!} x^{2n+2}| \le \frac{|x|^{2n+2}}{(2n+2)!}$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = \log(1+x) = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k}x^k + \frac{(-1)^n}{n+1} \frac{x^{n+1}}{(1+\theta x)^{n+1}}$

(2) $\cos x = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!} + R_{2n+1}(x)$, $|R_{2n+1}(x)| \le \frac{|x|^{2n+2}}{(2n+2)!}$