三角関数の積を和に変換する公式の証明または確認問題です。具体的には、以下の3つの等式を示します。 (5) $2 \sin x \cos y = \sin (x+y) + \sin (x-y)$ (6) $2 \cos x \cos y = \cos (x+y) + \cos (x-y)$ (7) $2 \sin x \sin y = \cos (x-y) - \cos (x+y)$

1. 問題の内容

三角関数の積を和に変換する公式の証明または確認問題です。具体的には、以下の3つの等式を示します。

(5) $2 \sin x \cos y = \sin (x+y) + \sin (x-y)$

(6) $2 \cos x \cos y = \cos (x+y) + \cos (x-y)$

(7) $2 \sin x \sin y = \cos (x-y) - \cos (x+y)$

2. 解き方の手順

これらの等式は、三角関数の加法定理から導き出すことができます。加法定理は以下の通りです。

$\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$

$\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$

$\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$

$\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$

(5) の証明:

$\sin(x+y)$ と $\sin(x-y)$ の和を計算します。

$\sin(x+y) + \sin(x-y) = (\sin x \cos y + \cos x \sin y) + (\sin x \cos y - \cos x \sin y)$

$\sin(x+y) + \sin(x-y) = 2 \sin x \cos y$

したがって、$2 \sin x \cos y = \sin (x+y) + \sin (x-y)$ が成立します。

(6) の証明:

$\cos(x+y)$ と $\cos(x-y)$ の和を計算します。

$\cos(x+y) + \cos(x-y) = (\cos x \cos y - \sin x \sin y) + (\cos x \cos y + \sin x \sin y)$

$\cos(x+y) + \cos(x-y) = 2 \cos x \cos y$

したがって、$2 \cos x \cos y = \cos (x+y) + \cos (x-y)$ が成立します。

(7) の証明:

$\cos(x-y)$ から $\cos(x+y)$ を引いた差を計算します。

$\cos(x-y) - \cos(x+y) = (\cos x \cos y + \sin x \sin y) - (\cos x \cos y - \sin x \sin y)$

$\cos(x-y) - \cos(x+y) = 2 \sin x \sin y$

したがって、$2 \sin x \sin y = \cos (x-y) - \cos (x+y)$ が成立します。

3. 最終的な答え

(5) $2 \sin x \cos y = \sin (x+y) + \sin (x-y)$

(6) $2 \cos x \cos y = \cos (x+y) + \cos (x-y)$

(7) $2 \sin x \sin y = \cos (x-y) - \cos (x+y)$