与えられた関数 $f(x)$ について、以下の問いに答えます。 * $f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}) & (x \neq 0) \\ 0 & (x=0) \end{cases}$ * (1) $f(x)$ が $x=0$ で微分可能であることを示し、$f'(0)$ を求めます。 * (2) $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。 * (3) 導関数 $f'(x)$ が $x=0$ で連続かどうかを調べます。 * (4) 関数 $f(x)$ が $C^1$ 級関数かどうかを調べます。

## 問題5

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ について、以下の問いに答えます。

* $f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}) & (x \neq 0) \\ 0 & (x=0) \end{cases}$

* (1) $f(x)$ が $x=0$ で微分可能であることを示し、$f'(0)$ を求めます。

* (2) $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

* (3) 導関数 $f'(x)$ が $x=0$ で連続かどうかを調べます。

* (4) 関数 $f(x)$ が $C^1$ 級関数かどうかを調べます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ が $x=0$ で微分可能であることを示すには、定義に従い、極限 $\lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h}$ が存在することを示します。

$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin(\frac{1}{\sqrt[3]{h}}) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin(\frac{1}{\sqrt[3]{h}})$

ここで、$-1 \le \sin(\frac{1}{\sqrt[3]{h}}) \le 1$ であるから、$-|h| \le h \sin(\frac{1}{\sqrt[3]{h}}) \le |h|$ となります。

$h \to 0$ のとき $|h| \to 0$ であるから、はさみうちの原理より、

$\lim_{h \to 0} h \sin(\frac{1}{\sqrt[3]{h}}) = 0$

したがって、$f'(0) = 0$ であり、$f(x)$ は $x=0$ で微分可能です。

(2) $x \neq 0$ のとき、$f'(x)$ を求めます。積の微分法と合成関数の微分法を用います。

$f'(x) = 2x \sin(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}) + x^2 \cos(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}) \cdot (-\frac{1}{3} x^{-\frac{4}{3}}) = 2x \sin(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}) - \frac{1}{3} x^{\frac{2}{3}} \cos(\frac{1}{\sqrt[3]{x}})$

したがって、$f'(x) = \begin{cases} 2x \sin(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}) - \frac{1}{3} x^{\frac{2}{3}} \cos(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}) & (x \neq 0) \\ 0 & (x=0) \end{cases}$

(3) $f'(x)$ が $x=0$ で連続かどうかを調べるには、$\lim_{x \to 0} f'(x) = f'(0)$ となるかどうかを調べます。

$\lim_{x \to 0} f'(x) = \lim_{x \to 0} (2x \sin(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}) - \frac{1}{3} x^{\frac{2}{3}} \cos(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}))$

$\lim_{x \to 0} 2x \sin(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}) = 0$ (はさみうちの原理より)

しかし、$\lim_{x \to 0} \frac{1}{3} x^{\frac{2}{3}} \cos(\frac{1}{\sqrt[3]{x}})$ は、振動するため極限が存在しません。したがって、$\lim_{x \to 0} f'(x)$ は存在しません。

したがって、$f'(x)$ は $x=0$ で不連続です。

(4) $f(x)$ が $C^1$ 級関数であるとは、$f(x)$ が微分可能であり、$f'(x)$ が連続であることを意味します。

(3)の結果より、$f'(x)$ は $x=0$ で連続ではないので、$f(x)$ は $C^1$ 級関数ではありません。

3. 最終的な答え

* (1) $f(x)$ は $x=0$ で微分可能であり、$f'(0) = 0$

* (2) $f'(x) = \begin{cases} 2x \sin(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}) - \frac{1}{3} x^{\frac{2}{3}} \cos(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}) & (x \neq 0) \\ 0 & (x=0) \end{cases}$

* (3) $f'(x)$ は $x=0$ で不連続

* (4) $f(x)$ は $C^1$ 級関数ではない

## 問題6

1. 問題の内容

次の式で定義される陰関数 $y$ の $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

$x - y + \log(xy) = 0$

2. 解き方の手順

与えられた式を $x$ について陰関数微分します。$\frac{d}{dx} \log(xy) = \frac{d}{dx} (\log x + \log y) = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \frac{dy}{dx}$ であることを利用します。

$\frac{d}{dx} (x - y + \log(xy)) = 0$

$1 - \frac{dy}{dx} + \frac{1}{xy} (y + x \frac{dy}{dx}) = 0$

$1 - \frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx} ( \frac{1}{y} - 1) = -1 - \frac{1}{x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-1 - \frac{1}{x}}{\frac{1}{y} - 1} = \frac{-(x+1)/x}{(1-y)/y} = \frac{y(x+1)}{x(y-1)}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{y(x+1)}{x(y-1)}$