関数 $y = \frac{1}{\sqrt{1-x}}$ の $n=4$ のマクローリン展開を求めます。

## 問題2

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{\sqrt{1-x}}$ の $n=4$ のマクローリン展開を求めます。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、テイラー展開の中心を $x=0$ とした場合の特殊なケースです。関数 $f(x)$ の $n$ 次マクローリン展開は次の式で与えられます。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + R_n(x)$

ここで、$R_n(x)$ は剰余項です。$n=4$ なので、4次までの項を求めます。

与えられた関数は $y = f(x) = (1-x)^{-\frac{1}{2}}$ です。

まず、$f(x)$ の導関数をいくつか計算します。

$f(x) = (1-x)^{-\frac{1}{2}}$

$f'(x) = \frac{1}{2}(1-x)^{-\frac{3}{2}}$

$f''(x) = \frac{3}{4}(1-x)^{-\frac{5}{2}}$

$f'''(x) = \frac{15}{8}(1-x)^{-\frac{7}{2}}$

$f^{(4)}(x) = \frac{105}{16}(1-x)^{-\frac{9}{2}}$

次に、$x=0$ でのこれらの導関数の値を計算します。

$f(0) = (1-0)^{-\frac{1}{2}} = 1$

$f'(0) = \frac{1}{2}(1-0)^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{2}$

$f''(0) = \frac{3}{4}(1-0)^{-\frac{5}{2}} = \frac{3}{4}$

$f'''(0) = \frac{15}{8}(1-0)^{-\frac{7}{2}} = \frac{15}{8}$

$f^{(4)}(0) = \frac{105}{16}(1-0)^{-\frac{9}{2}} = \frac{105}{16}$

これらの値をマクローリン展開の式に代入します。

$f(x) = 1 + \frac{1}{2}x + \frac{\frac{3}{4}}{2!}x^2 + \frac{\frac{15}{8}}{3!}x^3 + \frac{\frac{105}{16}}{4!}x^4 + \dots$

$f(x) = 1 + \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 + \frac{15}{48}x^3 + \frac{105}{384}x^4 + \dots$

$f(x) = 1 + \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 + \frac{5}{16}x^3 + \frac{35}{128}x^4 + \dots$

3. 最終的な答え

$y = 1 + \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 + \frac{5}{16}x^3 + \frac{35}{128}x^4$

## 問題3

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt[3]{x}$ の $x=1$ まわりでのテイラー展開を $n=3$ の場合について求めます。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ の $x=a$ まわりでの $n$ 次テイラー展開は次の式で与えられます。

$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)$

ここで、$R_n(x)$ は剰余項です。$n=3$ かつ $a=1$ なので、3次までの項を求めます。

与えられた関数は $y = f(x) = x^{\frac{1}{3}}$ です。

まず、$f(x)$ の導関数をいくつか計算します。

$f(x) = x^{\frac{1}{3}}$

$f'(x) = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$

$f''(x) = -\frac{2}{9}x^{-\frac{5}{3}}$

$f'''(x) = \frac{10}{27}x^{-\frac{8}{3}}$

次に、$x=1$ でのこれらの導関数の値を計算します。

$f(1) = 1^{\frac{1}{3}} = 1$

$f'(1) = \frac{1}{3}(1)^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3}$

$f''(1) = -\frac{2}{9}(1)^{-\frac{5}{3}} = -\frac{2}{9}$

$f'''(1) = \frac{10}{27}(1)^{-\frac{8}{3}} = \frac{10}{27}$

これらの値をテイラー展開の式に代入します。

$f(x) = 1 + \frac{1}{3}(x-1) + \frac{-\frac{2}{9}}{2!}(x-1)^2 + \frac{\frac{10}{27}}{3!}(x-1)^3 + \dots$

$f(x) = 1 + \frac{1}{3}(x-1) - \frac{1}{9}(x-1)^2 + \frac{5}{81}(x-1)^3 + \dots$

3. 最終的な答え

$y = 1 + \frac{1}{3}(x-1) - \frac{1}{9}(x-1)^2 + \frac{5}{81}(x-1)^3$

## 問題4

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = \arctan x$ の $n=6$ のマクローリン展開を求めます。

(2) (1) で求めたマクローリン展開に $x=1$ を代入することにより、円周率 $\pi$ の近似値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(x) = \arctan x$ のマクローリン展開を求めます。$n=6$ なので、6次までの項を求めます。

まず、$f(x)$ の導関数をいくつか計算します。

$f(x) = \arctan x$

$f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$

$f''(x) = -\frac{2x}{(1+x^2)^2}$

$f'''(x) = \frac{6x^2 - 2}{(1+x^2)^3}$

$f^{(4)}(x) = \frac{-24x^3 + 24x}{(1+x^2)^4}$

$f^{(5)}(x) = \frac{120x^4 - 240x^2 + 24}{(1+x^2)^5}$

$f^{(6)}(x) = \frac{-720x^5 + 1200x^3 - 720x}{(1+x^2)^6}$

次に、$x=0$ でのこれらの導関数の値を計算します。

$f(0) = \arctan 0 = 0$

$f'(0) = \frac{1}{1+0^2} = 1$

$f''(0) = -\frac{2(0)}{(1+0^2)^2} = 0$

$f'''(0) = \frac{6(0)^2 - 2}{(1+0^2)^3} = -2$

$f^{(4)}(0) = \frac{-24(0)^3 + 24(0)}{(1+0^2)^4} = 0$

$f^{(5)}(0) = \frac{120(0)^4 - 240(0)^2 + 24}{(1+0^2)^5} = 24$

$f^{(6)}(0) = \frac{-720(0)^5 + 1200(0)^3 - 720(0)}{(1+0^2)^6} = 0$

これらの値をマクローリン展開の式に代入します。

$f(x) = 0 + 1x + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{-2}{3!}x^3 + \frac{0}{4!}x^4 + \frac{24}{5!}x^5 + \frac{0}{6!}x^6 + \dots$

$f(x) = x - \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{5}x^5 + \dots$

(2) (1) で求めたマクローリン展開に $x=1$ を代入します。

$\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$ なので、

$\frac{\pi}{4} \approx 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5}$

$\frac{\pi}{4} \approx \frac{15 - 5 + 3}{15} = \frac{13}{15}$

$\pi \approx \frac{52}{15} \approx 3.46667$

今回はn=6までの近似なので、展開式は $f(x) = x - \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{5}x^5$

したがって、$\frac{\pi}{4} \approx 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{15-5+3}{15} = \frac{13}{15}$

$\pi \approx \frac{52}{15} \approx 3.4667$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = x - \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{5}x^5$

(2) $\pi \approx \frac{52}{15}$