与えられた逆三角関数の値を求めます。具体的には、以下の9つの値を求める問題です。 (1) $\sin^{-1}(\frac{1}{2})$ (2) $\sin^{-1}(-\frac{1}{2})$ (3) $\sin^{-1}(1)$ (4) $\cos^{-1}(0)$ (5) $\cos^{-1}(1)$ (6) $\cos^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})$ (7) $\tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})$ (8) $\tan^{-1}(-1)$ (9) $\tan^{-1}(\infty)$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

与えられた逆三角関数の値を求めます。具体的には、以下の9つの値を求める問題です。

(1) $\sin^{-1}(\frac{1}{2})$

(2) $\sin^{-1}(-\frac{1}{2})$

(3) $\sin^{-1}(1)$

(4) $\cos^{-1}(0)$

(5) $\cos^{-1}(1)$

(6) $\cos^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})$

(7) $\tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})$

(8) $\tan^{-1}(-1)$

(9) $\tan^{-1}(\infty)$

2. 解き方の手順

逆三角関数の定義に基づき、それぞれの値を求めます。

* $\sin^{-1}(x)$ は、$\sin(y) = x$ となる $y$ の値を $- \frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$ の範囲で求めるものです。

* $\cos^{-1}(x)$ は、$\cos(y) = x$ となる $y$ の値を $0 \leq y \leq \pi$ の範囲で求めるものです。

* $\tan^{-1}(x)$ は、$\tan(y) = x$ となる $y$ の値を $- \frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$ の範囲で求めるものです。

各問題に対する解答は以下の通りです。

(1) $\sin^{-1}(\frac{1}{2})$: $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ なので、$\sin^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

(2) $\sin^{-1}(-\frac{1}{2})$: $\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$ なので、$\sin^{-1}(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$.

(3) $\sin^{-1}(1)$: $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ なので、$\sin^{-1}(1) = \frac{\pi}{2}$.

(4) $\cos^{-1}(0)$: $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ なので、$\cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$.

(5) $\cos^{-1}(1)$: $\cos(0) = 1$ なので、$\cos^{-1}(1) = 0$.

(6) $\cos^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})$: $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ なので、$\cos^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\pi}{4}$.

(7) $\tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})$: $\tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ なので、$\tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$.

(8) $\tan^{-1}(-1)$: $\tan(-\frac{\pi}{4}) = -1$ なので、$\tan^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.

(9) $\tan^{-1}(\infty)$: $\tan(\frac{\pi}{2})$ は正の無限大に発散するので、$\tan^{-1}(\infty) = \frac{\pi}{2}$.

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{6}$

(2) $-\frac{\pi}{6}$

(3) $\frac{\pi}{2}$

(4) $\frac{\pi}{2}$

(5) $0$

(6) $\frac{\pi}{4}$

(7) $\frac{\pi}{6}$

(8) $-\frac{\pi}{4}$

(9) $\frac{\pi}{2}$