曲線 $y = \tan x$ 上の点 $(\frac{\pi}{4}, 1)$ における接線と法線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

曲線 $y = \tan x$ 上の点 $(\frac{\pi}{4}, 1)$ における接線と法線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$y = \tan x$ を微分して、導関数を求めます。

$\frac{dy}{dx} = \sec^2 x$

次に、$x = \frac{\pi}{4}$ における接線の傾きを求めます。

$\frac{dy}{dx}\Big|_{x=\frac{\pi}{4}} = \sec^2 \frac{\pi}{4} = (\sqrt{2})^2 = 2$

よって、点 $(\frac{\pi}{4}, 1)$ における接線の傾きは $2$ です。

接線の方程式は、点 $(\frac{\pi}{4}, 1)$ を通り、傾きが $2$ の直線なので、次の式で表されます。

$y - 1 = 2(x - \frac{\pi}{4})$

$y = 2x - \frac{\pi}{2} + 1$

次に、法線の方程式を求めます。法線は接線と直交するので、法線の傾きは接線の傾きの逆数にマイナスをつけたものです。

したがって、法線の傾きは $-\frac{1}{2}$ です。

法線の方程式は、点 $(\frac{\pi}{4}, 1)$ を通り、傾きが $-\frac{1}{2}$ の直線なので、次の式で表されます。

$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{4})$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{8} + 1$

3. 最終的な答え

接線の方程式：$y = 2x - \frac{\pi}{2} + 1$

法線の方程式：$y = -\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{8} + 1$