関数 $f(x)$ が $x = -1$ で微分可能であるとき、定数 $a$ の値を求める。関数 $f(x)$ は次のように定義される。 $f(x) = \begin{cases} -2x + 1 & (x \ge -1) \\ a(x+3)^2 - 4a + 3 & (x < -1) \end{cases}$

## 問題2

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が $x = -1$ で微分可能であるとき、定数 $a$ の値を求める。関数 $f(x)$ は次のように定義される。

$f(x) = \begin{cases}

-2x + 1 & (x \ge -1) \\

a(x+3)^2 - 4a + 3 & (x < -1)

\end{cases}$

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が $x = -1$ で微分可能であるためには、以下の2つの条件を満たす必要がある。

* $f(x)$ が $x = -1$ で連続であること

* $f(x)$ の $x = -1$ における左側微分係数と右側微分係数が一致すること

まず、$f(x)$ が $x = -1$ で連続であるための条件を求める。

$x = -1$ における右側極限は、

$\lim_{x \to -1+0} f(x) = -2(-1) + 1 = 3$

$x = -1$ における左側極限は、

$\lim_{x \to -1-0} f(x) = a(-1 + 3)^2 - 4a + 3 = 4a - 4a + 3 = 3$

$f(-1) = -2(-1) + 1 = 3$

したがって、$f(x)$ は $x = -1$ で連続である。

次に、$f(x)$ の $x = -1$ における左側微分係数と右側微分係数を求める。

右側微分係数は、

$f'(x) = -2 \quad (x > -1)$

なので、$x = -1$ での右側微分係数は -2 となる。

左側微分係数は、

$f'(x) = 2a(x+3) \quad (x < -1)$

なので、$x = -1$ での左側微分係数は $2a(-1+3) = 4a$ となる。

微分可能であるためには、右側微分係数と左側微分係数が一致する必要があるので、

$4a = -2$

これを解くと、

$a = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$a = -\frac{1}{2}$