問題6の(1)、(2)、(3)の極限を計算する。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\sin 2x}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin^{-1} x}$

1. 問題の内容

問題6の(1)、(2)、(3)の極限を計算する。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\sin 2x}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin^{-1} x}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\sin 2x}$ について

$\sin 2x = 2\sin x \cos x$ を用いると、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\sin 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2\sin x \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2\cos x}$

$x \to 0$ のとき $\cos x \to 1$ であるから、

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{2\cos x} = \frac{1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$ について

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ を用いると、

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ および $\lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{1} = 1$ であるから、

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1 \cdot 1 = 1$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin^{-1} x}$ について

$y = \sin^{-1} x$ とおくと、$x = \sin y$ である。

$x \to 0$ のとき $y \to 0$ であるから、

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin^{-1} x} = \lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} = 1$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}$

(2) $1$

(3) $1$